Lapso de dos vectores - confusión

Question

En el texto de Álgebra Lineal, por Steven_Levandosky, se da por lapso de dos vectores que:
$span(v_1, v_2)$ contiene cada línea que pasa a través de la línea se extendió por $v_2$ y es paralela a la línea se extendió por $v_1$

La imagen de la página es de aquí (que me une como no sabes cómo reproducir exactamente la imagen dada por una herramienta conocida para mí. Solicitar una herramienta para ayudar en la elaboración de tales imágenes).

La confusión es la instrucción dada anteriormente (en la segunda línea) , que es parte del párr. a continuación (y también se da en el vínculo de la imagen):

Geométricamente, tenga en cuenta algunos valores particulares de $c_1, c_2$. La primera revisión $c_2=0$ y deje $c_1$ variar por todas partes de $\mathbb{R}$ a ver que abarcan contiene la línea se extendió por $v_1$. A continuación, fije $c_2=1$ y deje $c_1$ variar a lo largo de $\mathbb{R}$ a ver que $span(v_1, v_2)$ contiene la línea que pasa a través de la cabeza de $v_2$ y es paralelo a la línea se extendió por $v_1$. Continuando la revisión $c_2$ y deje $c_1$ variar a lo largo de $R$ vemos que $span(v_1, v_2)$ contiene cada línea que pasa a través de la línea se extendió por $v_2$ y es paralelo a la línea se extendió por $v_1$

Mi comprensión de span es que cubre todos los posibles (reales) de las combinaciones lineales de dos vectores en un $2$-D plano, y tres vectores en un $3$-D plano. Así, automáticamente significa que en un $2$-D plano, que cualquier tercer vector sería una combinación lineal de los otros dos vectores linealmente independientes ( por lo que me quiere decir que no son un múltiplo de cada uno de los otros). Del mismo modo, para $3$-D plano, donde la necesidad de sólo $3$ vectores linealmente independientes para definir cualquier nuevo vector en el plano. introduzca la descripción de la imagen aquí

La última línea del libro de instrucción (en negrita ) me confunde, ya que sólo se puede interpretar como:

todos los vectores que pasa a través del vector se extendió por todos los múltiplos de $v_2$ (es decir, encontrado por la multiplicación por un escalar valor de un número real, incluyendo la $0$) y es paralelo a cualquier múltiplo del vector $v_1$ por un escalar real $c_1$.

-- Pero, esta interpretación no me explique cómo un tercer vector en el plano sería que se puede expresar como una combinación lineal de los dos. Por ejemplo, permitir que los dos vectores linealmente independientes ser: $u = [1\,\, 2], v= [3 \,\, 2]$, y la introducción de un nuevo vector, vamos a $w = [3\,\, -2]$ significa que $w$ es una combinación lineal de los otros dos, dado por $w = 2v - 3u$. De hecho, como $w$ no es múltiplo de ninguno de los dos vectores $u, v$; por lo que puede tomar cualquiera de los dos vectores de los tres (es decir,$u,v,w$), y puede expresar el tercer lugar en términos de los otros dos; decir $u = \frac23 v - \frac13 u$.
No puedo utilizar este ejemplo en particular para justificar la parte confusa (en negrita) del libro.

Answer 1

Tal vez esto ayude. Vamos a mostrar en $\mathbb{R}^2$ que los siguientes son equivalentes:

1. $z$ es una combinación lineal de $u$ $v$
2. Hay una línea de $\ell$, la cual es paralela a la línea se extendió por $u$ y cruza la línea se extendió por $v$$z\in\ell$.

Para demostrar esto, en primer lugar supongamos $z=cu+dv$ algunos $c,d\in\mathbb{R}$. Ahora, considere la línea de $\ell=\{tu+dv:t\in\mathbb{R}\}$. $\ell$ es paralelo a la línea se extendió por $u$ (que es la línea de $\{tu:t\in\mathbb{R}\}$) y cruza la línea se extendió por $v$ (es decir, contiene el punto de $dv$, que está en la línea de $\{tv:t\in\mathbb{R}\}$). Además, $z\in\ell$ desde $z=cu+dv\in\ell$.

Para la dirección inversa, supongamos que $\ell$ es una línea paralela a la línea se extendió por $u$ y cruza la línea se extendió por $v$$z\in\ell$. Desde $\ell$ es paralelo a la línea se extendió por $u$, $\ell=\{tu+x_0:t\in\mathbb{R}\}$ algunos $x_0\in\mathbb{R}^2$. Desde $\ell$ cruza la línea se extendió por $v$, esto significa que podemos encontrar algunos de los $t_0,t_1\in\mathbb{R}$ que $t_0u+x_0=t_1v$. Finalmente, $z\in \ell$, por lo que hay algunos $t_2\in\mathbb{R}$$z=t_2u+x_0$. Poniendo a estos en conjunto, se han $$ z=t_2u+x_0=(t_2-t_0)u+(t_0u+x_0)=(t_2-t_0)u+t_1v, $$ por lo $z$ es una combinación lineal de $u$$v$.