¿Por qué el concepto de diferenciación sólo tiene sentido en los conjuntos abiertos?

Question

Sólo estoy atascado en el mismo problema preguntado en el siguiente pregunta . El libro pide diferenciar implícitamente dos ecuaciones. Luego resulta que la respuesta es "ninguna de ellas es diferenciable implícitamente". Alex M. en la pregunta anterior responde diciendo:

... $y = \pm x$ pero esta igualdad no se define en un conjunto abierto, sino en un conjunto finito de puntos, y el concepto de derivabilidad no tiene sentido en tales conjuntos.

¿Puede alguien explicar qué está pasando?

Answer 1

Considere cualquier subconjunto $A \subset \mathbb{R}$ y cualquier función $f : A \to \mathbb{R}$ .

Existe una definición útil de diferenciabilidad en este contexto, que se puede formular después de ya se ha formulado la definición ordinaria de diferenciabilidad, en la que se exige que el dominio sea abierto. A saber: $f$ es diferenciable en un punto $x \in A$ si existe un conjunto abierto $U \subset \mathbb{R}$ que contiene $x$ y existe una función $\hat f : U \to \mathbb{R}$ , de tal manera que $\hat f$ es diferenciable en $x$ y tal que $\hat f \mid U \cap A = f \mid U \cap A$ .

Por ejemplo, he aquí un ejercicio que relaciona este concepto con el concepto general de "derivados unilaterales": Si $A = [a,b]$ es un intervalo cerrado, entonces $f$ es diferenciable en $a$ (según la definición anterior) si y sólo si existe la siguiente derivada unilateral "desde arriba": $$\lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$ De la misma manera, $f$ es diferenciable en $b$ si la derivada unilateral en $b$ "desde abajo" existe.

La misma definición funciona si se permite $A$ sea un subconjunto de un espacio euclidiano de mayor dimensión, y análogamente dejemos que el objetivo de $f$ sea un espacio euclidiano de mayor dimensión. Uno de los contextos en los que se utiliza este concepto es para definir funciones diferenciables sobre objetos como polígonos o poliedros (lo que lleva al tema general y muy útil de los "colectores con esquinas").

Answer 2

Para definir la derivada de $f$ en un punto $a$ tienes que ser capaz de encontrar valores $f(x)$ para todos $x$ cerca de $a$ para formar el cociente de la diferencia cuyo límite es la derivada.

Si siempre que $a$ está en el dominio todo $x$ cerca de $a$ están en el dominio, entonces el dominio está abierto.

Answer 3

En mi opinión, se trata de una cuestión filosófica. Los "padres" del concepto de diferenciación son Newton y Leibniz, y su intención principal era analizar el movimiento físico.

Si describes un objeto en movimiento matemáticamente, entonces obtienes alguna función $f$ definido en un intervalo real $J$ correspondiente al flujo lineal del tiempo con rango $\mathbb{R}$ , $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$ (dependiendo de los aspectos que le interesen) correspondientes a espacio . Si el objeto se mueve en el tiempo $t_0$ a través de un punto $s_0$ entonces existe claramente un intervalo abierto $(t_1,t_2) \subset J$ que contiene $t_0$ .

Encontrar la velocidad en el tiempo $t_0$ medios para calcular el valor límite "habitual" de las velocidades medias cercanas a $t_0$ . Esto da la definición estándar de $f'(t_0)$ para una función definida en un intervalo abierto.

Sin embargo, para definir $f'(t_0)$ bastaría con suponer que $t_0$ es un punto de agrupación de $J \backslash \lbrace t_0 \rbrace$ . El caso que $t_0$ es un punto aislado de $J$ no tiene mucho sentido - no hay límite.

De hecho, esta posición se adopta en las aplicaciones prácticas. Es habitual trabajar con funciones $f : J \to \mathbb{R}$ definido en no abierto intervalos, y sin ninguna preocupación consideramos las derivadas unilaterales en los puntos límite de $J$ . Si, por ejemplo $J = [a,b)$ , entonces consideramos la derivada derecha en $a$ aunque $f$ no está definida en ningún intervalo abierto que contenga $a$ . Bien, la situación aquí es bastante agradable porque $(a,b)$ no tiene "lagunas", pero para definir la derivada correcta en $a$ sólo necesitamos el hecho de que $a$ es un punto de agrupación de $(a,b)$ .

En el cálculo multivariable tratamos con funciones $f : U \to \mathbb{R}^m$ definidos en subconjuntos abiertos $U \subset \mathbb{R}^n$ . La derivada en un punto $x_0 \in U$ se define entonces como un mapa lineal $Df(x_0) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ tal que $x \mapsto f(x_0) + Df(x_0)(x-x_0)$ es la "mejor aproximación" a $f$ en $x_0$ . Aquí se hace más lúcido por qué requerimos $U$ para ser abierto: Lo necesitamos para demostrar que $Df(x_0)$ está determinada de forma única. De nuevo, esta suposición sobre $U$ podría debilitarse, pero el precio sería utilizar condiciones muy técnicas (si no intransparentes).

Answer 4

Para añadir a la respuesta de Bolker, el hecho de que se necesiten valores de $f(x)$ para todos $x$ cerca de $a$ se desprende de la definición de derivada: $f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ . Cuando decimos $h \to 0$ , lo que significa que $h$ puede acercarse $0$ desde el lado positivo o negativo. Así que necesitamos $f$ que se define en un conjunto abierto que contiene $a$ .

Answer 5

Sin perder la generalidad consideremos una función definida en un intervalo compacto de la recta real. Si recordamos el derivada de dicha función en un punto $p$ de su dominio como especificando la mejor aproximación lineal a la función cerca de $p$ (siendo esta derivada la pendiente de el línea tangente no vertical a la gráfica de la función en $p$ ), ahora es fácil ver que el La derivada no puede existir en los puntos finales del intervalo. Por lo tanto, el concepto de derivada para funciones en dichos intervalos sólo tiene sentido cuando dichos puntos finales se excluyen de la consideración a priori. Al excluir los puntos finales de la consideración, el intervalo queda abierto, ya que cada punto en él es ahora un punto interior, es decir, cada La vecindad de cada punto contiene otro punto en el intervalo.

Es fácil (espero) ver cómo esto se generaliza a las funciones definidas en subconjuntos arbitrarios de $\mathbf R$ e incluso de forma más general a una función definida sobre cualquier conjunto. Consideremos, por ejemplo, el dominio de una función de una variable real que es un conjunto de puntos finitos, entonces no es diferenciable en ninguna parte; o si el dominio tiene un punto aislado, entonces no es diferenciable allí, etc.