¿Intuición de categorías no concretables?

Question

Un concretizable categoría es una categoría que admite un fiel functor a la categoría de conjuntos.

Al parecer, hay también concretizable categorías, pero me resulta difícil imaginar cómo se vería, ya que creo que de los objetos en una categoría como conjuntos (aunque, tratamos la establece como cajas negras en la categoría de la teoría), y morfismos como las asignaciones entre ellos. Por tanto, parece intuitivo para mí que cualquier categoría puede ser incrustado en la categoría de conjuntos.

Podría usted dar una intuitiva ejemplo de una categoría que no es concretizable, donde es claro/obvio/intuitiva por lo que no es?

ps. wikipedia dice $\textbf {hTop}$ como un ejemplo, pero no es obvio para mí ¿por qué no es concretizable.

Answer 1

No creo que ningún ejemplo de ello existe, y por una buena razón. El fracaso de concretizability es un fenómeno sutil que no tiene nada que ver con algebraicas abstractas ideas y en su lugar enteramente sobre cuestiones de tamaño (es decir, la distinción entre conjuntos y adecuada de las clases).

Para ilustrar este último punto, si te olvidas de problemas de tamaño, a continuación, cada categoría es concretizable. Dada una categoría $C$, se puede obtener una fiel functor de conjuntos mediante el envío de cada objeto $a$ para el conjunto de $F(a)$ de todos los morfismos a $a$. Dado un morfismos $a\to b$, se obtiene un mapa de $F(a)\to F(b)$ por cualquiera de morfismos a $a$ y sólo a componer con los morfismos $a\to b$. (Tenga en cuenta que esta construcción es exactamente la generalización de la prueba usual de Cayley del teorema de los grupos de categorías generales.)

Ahora, en realidad no trabajo en general si $C$ es un grande de la categoría, ya que el "conjunto" $F(a)$ de todos los morfismos a $a$ puede ser en realidad una clase adecuada. Pero esto no demuestra que cualquier pequeña categoría es concretizable, y el hecho de concretizability tiene que ser acerca de cuestiones de tamaño. En otras palabras, no tiene nada que ver con los conjuntos y su estructura per se (cualquier categoría sería concretizable si permitió el uso suficientemente grande "conjuntos"). Más bien, debe tener que ver con la estructura de la categoría de ser, en cierto sentido, "demasiado grande" para incrustar en la categoría de los pequeños conjuntos.

Answer 2

Isbell, el ejemplo de un local pequeño) no concretizable categoría, aunque discutible artificial como Fosco dice en su respuesta, es bastante simple y es muy fácil ver de manera concreta (lo siento!) lo que la hace funcionar.

La categoría tiene dos clases de $\left\{A_\alpha\right\}$ $\left\{B_\alpha\right\}$ de los objetos indexados por la misma clase adecuada, y dos más objetos de $X$$Y$.

Hay morfismos $A_\alpha\to X$, $A_\alpha\to Y$, $X\to B_\alpha$ y $Y\to B_\alpha$ por cada $\alpha$, y la única morfismos son las señas de identidad morfismos y las composiciones de estos, con las composiciones $A_\alpha\to X\to B_\alpha$ $A_\alpha\to Y\to B_\alpha$ igual (pero no las composiciones $A_\alpha\to X\to B_\beta$$A_\alpha\to Y\to B_\beta$$\alpha\neq\beta$).

Este es un local pequeño de la categoría, con un máximo de dos morfismos entre cualquier par de objetos.

Supongamos $F$ fueron un fiel functor de esta categoría a los conjuntos, y para un determinado $\alpha$ deje $f_\alpha:F(X)\amalg F(Y)\to F(B_\alpha)$ ser la función inducida por $X\to B_\alpha$$Y\to B_\alpha$.

No es sólo un conjunto de las relaciones de equivalencia en $F(X)\amalg F(Y)$, por lo $\alpha\neq\beta$ la relación de equivalencia inducida por $f_\alpha$ (es decir, $\left\{(s,t)\in F(X)\amalg F(Y)\middle\vert f_\alpha(s)=f_\alpha(t)\right\}$) debe ser la misma que la inducida por $f_\beta$.

Pero luego, desde el $F(A_\alpha)\to F(X)\to F(B_\alpha)$ es igual a $F(A_\alpha)\to F(Y)\to F(B_\alpha)$, también debemos tener ese $F(A_\alpha)\to F(X)\to F(B_\beta)$ es igual a $F(A_\alpha)\to F(Y)\to F(B_\beta)$, contradiciendo la fidelidad.

Answer 3

En una categoría con límites finitos ser concretizable es equivalente al hecho de que RegSub(A) (regular subobjetos) es un conjunto de cualquier objeto A.

Esto aparece en el papel de "Concreción" de Freyd.

Por supuesto, esto occours muy a menudo, por lo tanto no concretizable categoría debe tener "muy grande" de los objetos.

Por ejemplo, una categoría con un generador es siempre concreta, este es el caso de todas las categorías que tiene en mente.

Para obtener natural contraejemplo a la concreción que se puede considerar la categoría de presheaves más de una categoría grande. El hecho de que no es localmente pequeño implica que no es concretizable (en este caso).

Answer 4

Isbell construido un ejemplo de no-hormigón categoría, pero fue bastante artificial.

Freyd mostró más tarde que la categoría de $\bf hTop$ de los espacios y homotopy clases de mapas no es concreto.

Nuestro trabajo mencionado por Pablo Heladas en los comentarios, muestra que no hay nada especial acerca de los espacios. Lo que destruye lo concreto es "tener un suficientemente poderoso homotopy teoría", es decir, (casi equivalente) el hecho de que una categoría no trivial de la estructura del modelo.

Espero que ayude!