¿Cuál es el máximo o mínimo relativo y el punto de inflexión?

Question

$f(x) = ax^3+bx^2+cx +d$, determine a, b, c, y d tales que la gráfica de $f$ tiene un extremo en $(0,3)$ y un punto de inflexión en $(-1,1)$.

Cuando es una ecuación cuadrática sé que la fórmula $V=(\frac{-b}{2a},\frac{-\triangle}{4a})$ da el máximo o mínimo de la función, pero para $f(x) = ax^3+bx^2+cx +d$, no parece el mismo. Traté de hacer las $f(x) = x(ax^2+bx+c) +d$ pero no funciona y para que el punto de inflexión yo sé que es el punto de la segunda derivada es igual a cero y el cambio de la señal, pero ¿cómo puedo realizar el cambio de función en (-1,1)?

Answer 1

Un extremo en el gráfico es un punto donde la función es localmente máximas o mínimas, y se produce cuando $f'(x)=0$. Un punto de inflexión es cuando la curvatura cambia de signo, y se produce cuando $f''(x)=0$.

Así, sabemos que $$\begin{align} f'(x)&=3ax^2+2bx+c,\\ f''(x)&=6ax+2b. \end{align}$$ Queremos $f'(x)=0$ al $x=0$, y por lo tanto, podemos ver que $f'(x)_{x=0}=3a\cdot 0^2$ $+2b\cdot 0+c=c$, y, por tanto,$c=0$. También, queremos $f''(x)=0$ al $x=-1$, y por lo tanto podemos ver que $f''(x)_{x=-1}=-6a+2b=0$, y por lo tanto $a=b/3$. Así que nuestra función es la de ahora, $$f(x)=ax^3+3ax^2+d.$$ Ahora, cuando $x=0$, $f(x)=3$, así que podemos ver que $d=3$, y cuando $x=-1$, $f(x)=1$, y por lo $a=-1$, lo que le da la función de $$f(x)=-x^3-3x^2+3.$$

Sin embargo, para ser más rigurosos, es necesario aplicar la prueba de la primera derivada para cada punto bajo consideración para asegurarse de que estamos ante un punto de inflexión, o un punto extremal. Recordemos que la primera derivada de la prueba dice que: si $f(x)$ es continua en un punto a $x_0$, entonces:

i) si $f'(x)>0$ a la izquierda de $x_0$, e $f'(x)<0$ sobre el derecho de $x_0$, luego tenemos a un máximo local, ii) si $f'(x)<0$ a la izquierda de $x_0$, e $f'(x)>0$ sobre el derecho de $x_0$, luego tenemos a un mínimo local, iii) y si $f'(x)$ tiene el mismo signo a la izquierda y a la derecha de $x_0$, entonces tenemos un punto de inflexión.

Answer 2

Extremo en $(0,3)$:

Necesitamos $f'(0) = 0$ $f''(0) \ne 0$ para un local de mínimo o máximo en $x=0$, por lo que $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \Rightarrow f'(0) = c = 0 \\ f"(x) = 6ax + 2b \Rightarrow f"(0) = 2b \ne 0$$ a continuación, $f(0) = 3$ se requiere: $$f(0) = 3 = d$$ Punto de inflexión en $(-1, 1)$:

Además tenemos $f''(-1) = 0$, debido a la curvatura de la $$k(x)= \frac{f"(x)}{(1+f'(x)^2)^{3/2}}$$ es necesario para cambiar la señal de un punto de inflexión, y tiene el mismo signo de $f''$, por lo que $$f"(x) = 6ax + 2b \Rightarrow f"(-1) = -6a + 2b = 0$$ y $f(-1) = 1$ se requiere: $$f(-1) = -a + b -c + d = a + b+3 = 1$$ así que tenemos que resolver $$-6a + 2b = 0 \\ -a + b + 3 = 1$$ que es equivalente a $$b = 3a \\ -a + 3a = -2$$ que es equivalente a $$a = -1 \\ b = -3$$ La comprobación de la solución:

Esto le da $$(a, b, c, d) = (-1, -3, 0, 3)$$ cuál es la función $$f(x) = -x^3 - 3x^2 + 3$$ Tiene los derivados $$f'(x) = -3x^2 -6x \\ f"(x) = -6x - 6$$ con $f'(0) = 0$, $f''(0) = -6 \ne 0$, $f(0) = 3$, así que tiene un máximo local en a $(0,3)$.

Además tiene $f''(-1) = 0$, $f(-1) = 1$. Entonces tenemos para $\epsilon > 0$ $$f"(-1 - \epsilon) = -6(-1-\epsilon) - 6 = 6 \epsilon > 0 \\ f"(-1 + \epsilon) = -6(-1+\epsilon) - 6 = -6 \epsilon < 0$$ así que tenemos un cambio de signo de $f''$ y por lo tanto también para la curvatura $k$$x=-1$, lo que hace que $(-1,1)$ un punto de inflexión.

Answer 3

Usted necesita para escribir cuatro ecuaciones, ya que tiene cuatro incógnitas $(a,b,c,d)$. Desde $(0,3)$ es un extremo, se tienen dos ecuaciones. La primera es que el $(0,3)$ está en el gráfico, la segunda es que la derivada es $0$. Una vez que averiguar la solución, usted debe asegurarse de que es, de hecho, un mínimo o un máximo. Para las otras dos ecuaciones, $(-1,1)$ está en la gráfica de la función y la derivada segunda es $0$ en ese punto. Escribir estas ecuaciones, a ver si usted puede venir para arriba con algunos números de $(a,b,c,d)$.

Voy a empezar con $f(0)=3$, lo $d=3$.