Un extremo en el gráfico es un punto donde la función es localmente máximas o mínimas, y se produce cuando $f'(x)=0$. Un punto de inflexión es cuando la curvatura cambia de signo, y se produce cuando $f''(x)=0$.
Así, sabemos que
\begin{align}
f'(x)&=3ax^2+2bx+c,\\
f''(x)&=6ax+2b.
\end{align}
Queremos $f'(x)=0$ al $x=0$, y por lo tanto, podemos ver que $f'(x)_{x=0}=3a\cdot 0^2$ $+2b\cdot 0+c=c$, y, por tanto,$c=0$. También, queremos $f''(x)=0$ al $x=-1$, y por lo tanto podemos ver que $f''(x)_{x=-1}=-6a+2b=0$, y por lo tanto $a=b/3$. Así que nuestra función es la de ahora,
$$f(x)=ax^3+3ax^2+d.$$
Ahora, cuando $x=0$, $f(x)=3$, así que podemos ver que $d=3$, y cuando $x=-1$, $f(x)=1$, y por lo $a=-1$, lo que le da la función de
$$f(x)=-x^3-3x^2+3.$$
Sin embargo, para ser más rigurosos, es necesario aplicar la prueba de la primera derivada para cada punto bajo consideración para asegurarse de que estamos ante un punto de inflexión, o un punto extremal. Recordemos que la primera derivada de la prueba dice que: si $f(x)$ es continua en un punto a $x_0$, entonces:
i) si $f'(x)>0$ a la izquierda de $x_0$, e $f'(x)<0$ sobre el derecho de $x_0$, luego tenemos a un máximo local,
ii) si $f'(x)<0$ a la izquierda de $x_0$, e $f'(x)>0$ sobre el derecho de $x_0$, luego tenemos a un mínimo local,
iii) y si $f'(x)$ tiene el mismo signo a la izquierda y a la derecha de $x_0$, entonces tenemos un punto de inflexión.