No hay ninguna contables completos ortonormales sistema, así que usted no puede elegir un sistema de $\{u_k\}$ de manera tal que se puede escribir cada elemento $u$
$$
u =\sum_{k=1}^\infty \langle u,u_k\rangle u_k.
$$
Como Eric Wofsey comentado, hay una formulación similar con una cantidad no numerable de ortonormales $u_k$, por lo que, técnicamente, la divisibilidad no es realmente especial a este respecto.
Sin embargo, me gustaría añadir, que una contables ortonormales base presenta un sistema de coordenadas y el espacio de Hilbert realmente se siente como " $\mathbb{R}^n$ (contables) infinito $n$". Si bien puede ser cierto que, técnicamente, un no-separable espacio de Hilbert es, en el mismo sentido, un "$\mathbb{R}^n$, con innumerables infinito $n$", uno debe usar más precaución cuando se trabaja en ellos, mientras que los que trabajan en el separables caso de que realmente es, en la práctica, muy parecida a la de trabajo en $\mathbb{R}^n$.
Lo que es notable la diferencia entre separables y no separables espacio de Hilbert es que discretización (es decir, la aproximación de infinitas dimensiones de los problemas con finito dimensionales) es diferente: En un espacio de Hilbert separable usted puede elegir algunas bases ortonormales y aproximar cualquier $u$ en su problema por $u = \sum_{k=1}^N a_k u_k$ e intentar reformular el problema en las variables $a_k$ y resolver eso. En un no-espacio de Hilbert separable, esto es diferente y yo no soy consciente de que una aproximación general procedimiento que funciona en la práctica (es decir, que puedan ser implementadas de inmediato).
La página de la Wikipedia sobre la divisibilidad de las listas el mismo problema en una forma ligeramente diferente:
Divisibilidad es especialmente importante en el análisis numérico y constructivo de las matemáticas, ya que muchos teoremas que pueden ser probadas para nonseparable espacios constructivos de las pruebas sólo para separar espacios. Tal constructivo de las pruebas puede ser convertido en los algoritmos para su uso en análisis numérico [...]
tl;dr:
El método de Galerkin no trabajan en organizaciones no-separables espacios de Hilbert.
