Si por ejemplo $\mathcal F = \mathcal O_X,$ entonces $\mathcal F(U)\otimes_{\mathcal O_X(U)}\mathcal G(U) = \mathcal O_X(U)\otimes_{\mathcal O_X(U)} \mathcal G(U) = \mathcal G(U)$ por lo que en este caso vemos que la preforma $\mathcal F\otimes \mathcal G$ es igual a $\mathcal G$ y también es una gavilla.
Pero esto no es típico. Un ejemplo más ilustrativo es $\mathcal F = \mathcal O(n)$ para $n > 0$ (en algún espacio proyectivo de dimensión positiva $\mathbb P^d$ ) y $\mathcal G = \mathcal O(-n) = \mathcal F^{-1}$ . Entonces, si $U = \mathbb P^d$ , tenemos $\mathcal G(\mathbb P^d) = 0$ y, por tanto, los valores de la preforma $\mathcal F\otimes\mathcal G$ en $\mathbb P^d$ es igual a $0$ . Por otro lado el producto tensorial real (sheaf) $\mathcal F \otimes \mathcal G$ es igual a la gavilla de estructura $\mathcal O_{\mathbb P^d}$ (porque $\mathcal F$ y $\mathcal G$ son mutuamente inversos), que tiene un espacio unidimensional de secciones globales.
Así que en lugar de tratar de encontrar situaciones en las que el producto tensorial del prefondo es en realidad una gavilla, será mejor obtener una intuición para el proceso de sheafificación que va a formar el producto tensorial de la gavilla a partir de la versión del prefondo.
Si $\mathcal F$ es un presheaf y $\overline{\mathcal F}$ la gavilla correspondiente, entonces hay dos puntos clave:
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existe un mapa canónico $\mathcal F(U) \to \overline{\mathcal F}(U)$ para cualquier conjunto abierto $U$ ;
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el mapa natural de los tallos $\mathcal F_x \to \overline{\mathcal F}_x$ es un isomorfismo en cada punto $x$ .
Así, en el contexto de los productos tensoriales, siempre existe un mapa canónico $\mathcal F(U)\otimes \mathcal G(U) \to (\mathcal F\otimes\mathcal G)(U)$ (donde el blanco denota el producto tensorial de la gavilla), y el tallo de $\mathcal F\otimes\mathcal G$ en cualquier punto es el producto tensorial de los correspondientes tallos de $\mathcal F$ y $\mathcal G$ .
Por último, si $X =$ Espec $A$ es afín y $\mathcal F$ y $\mathcal G$ corresponden a $A$ -módulos $M$ y $N$ respectivamente, entonces $\mathcal F\otimes\mathcal G$ es la gavilla cuasi-coherente asociada al producto $M\otimes_A N$ . En particular, si $U = $ Espec $A_f$ es un abierto distinguido asociado a $f \in A$ , entonces las secciones de $\mathcal F\otimes \mathcal G$ son iguales a $(M\otimes_A N)_f = M_f\otimes_{A_f}N_f,$ que es el producto tensorial de las secciones de $\mathcal F$ y $\mathcal G$ sobre la especificación $A_f$ . Así que este es un caso en el que se puede trabajar con la imagen ingenua de la hoja de cálculo y obtener la respuesta correcta, lo que suele ser útil en los cálculos (y también psicológicamente útil para mantener una perspectiva realista del formalismo general).
