Máximo la cantidad de monedas que puede conseguir el rey

Question

Aquí es cómo funciona:

El rey ha $65$ de los ciudadanos. Contando a sí mismo, cada uno de ellos recibe una moneda de cada mes. El rey puede dar una sugerencia de cómo las monedas deben ser distribuidos, y evryone persona un voto. Que va a pasar si tiene más de $50$% votó "sí". Cada ciudadano es muy egoísta y hace lo siguiente: si él/ella consigue más monedas, entonces él/ella va a votar por el "sí". Si él/ella recibe menos de la moneda, luego de que él/ella va a votar "no". De lo contrario, él/ella no va a votar a todos.

Pregunta: ¿Cuál es la cantidad máxima de monedas (de 66) el rey puede conseguir, y cómo es que se logró en la mínima cantidad de sugerencias?

Apprently la respuesta parece ser de 63, y es bastante obvio, pero ¿cómo se puede demostrar formalmente? También, ¿cómo puedo encontrar la respuesta a la segunda pregunta?

Edit: aquí está un ejemplo que puede ayudar a entender la pregunta:

Sugerencia $1$: $33$ los ciudadanos se 2 monedas cada uno ($33$ "sí" $32$ "no")

Sugerencia $2$: $17$ ciudadanos se presenta 3/4 monedas ($17$ "sí" $16$ "no")

Sugerencia $3$: $9$ ciudadanos se presenta 6/7 monedas ($9$ "sí" $8$ "no")

Sugerencia $4$: $5$ ciudadanos se presenta 12/13 monedas ($5$ "sí" $4$ "no")

Sugerencia $5$: $3$ ciudadanos se presenta el 22 de monedas ($3$ "sí" $2$ "no")

Sugerencia $6$: $2$ ciudadanos se presenta 33 monedas de cada ($2$ "sí" $1$ "no")

Sugerencia $7$: $3$ los ciudadanos no recibo ninguna moneda de la primera ronda obtiene una moneda cada uno. El rey recibe el resto de 63 monedas. ($3$ "sí" $2$ "no")

Answer 1

Se observa que en el primer paso, el rey está obligado a lanzar en su propia moneda con el fin de presentar cualquier propuesta de pase (de lo contrario, una mayoría entre los 65 a los ciudadanos no puede ser alcanzada). Por lo tanto, todos los 66 monedas se dividen entre los 65 a los ciudadanos, y en menos de un ciudadano va a ser engañados cuando las monedas son transferidos al rey (lo que significa que al menos dos ciudadanos tendrán a beneficio de la ronda de votación, y por lo tanto, al menos, conseguir una moneda cada uno). Observe también que en cualquier punto en el tiempo, al menos dos ciudadanos tendrán monedas (de lo contrario, no puede haber una mayoría entre los ciudadanos). Ya que el ciudadano no tendrá jamás poseer todas las monedas, un escenario en el que dos monedas dadas a dos ciudadanos (uno cada uno) para influir en el voto, es imposible. Por lo tanto, el rey nunca puede obtener 64 monedas o más. Por último, observe que si el ciudadano no tiene una moneda (un estado que puede ser logrado después de una ronda de votación), el dinero que continuamente se puede ser transferido de un ciudadano a los otros dos, hasta que sólo dos de los ciudadanos con monedas permanecen: uno con 65 monedas, una con una moneda. Dando 63 monedas del rey, dos para el ciudadano con una moneda y uno a un ciudadano sin monedas, a continuación, los resultados en la solución óptima.

Como por el menor solución: al menos siete vueltas de votación son necesarios. Esto puede ser deducido de la siguiente manera: si hay $n$ de los ciudadanos con al menos una moneda, tenemos que beneficiar al menos a $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor + 1$ de los ciudadanos en la siguiente ronda. Dado que no se $65$ ciudadanos, tenemos:

$$65 \to 33 \to 17 \to 9 \to 5 \to 3 \to 2$$

Tan pronto como tenemos dos ciudadanos que posean todas las monedas (cada uno con al menos dos monedas), la solución óptima se logra dando 63 monedas para el rey, y de una moneda a otros tres ciudadanos. Su propuesta de solución es, pues, la más corta.