Traté de resolver un problema de dos maneras diferentes y me dieron resultados diferentes.
Deje $( X_i )_{i \in \mathbb{N}}$ ser una serie de independientes, idénticamente distribuidas variables aleatorias, con $\mathbb{E}[X_i] = 1$ $\mathbb{V}[X_i] = 1$
Determinar
$$ \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right) $$
Aquí están los dos enfoques que he probado.
Teorema del límite Central \begin{align*} & \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right) \\ = {} & \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n (X_i - 1) \leq \sqrt{n} - \frac{n}{\sqrt{n}}\right) \\ = {} & \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n (X_i - 1) \leq 0\right) \\ = {} & \Phi_{0,1}(0) = \frac{1}{2} \end{align*}
Ley de los grandes números
\begin{align*} & \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right) \\ = {} & \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \leq 1 \right) \\ \geq {} & \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = 1\right) \\ = {} & 1 \end{align*} de acuerdo a las fuertes ley de los grandes números. Esto significa, entonces, que $$ \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n X_i \leq \sqrt{n}\right) = 1 $$
¿Qué estoy haciendo mal aquí? Mi entendimiento es que el CLT solución es correcta, pero no veo lo que hice mal con la aplicación de la ley de los grandes números.
