Deje$A\in M_{n\times n}(\Bbb R)$ para que$I\notin span(A,A^2,...,A^n)$. Pruebalo $\det(A)=0$.

Question

Deje$A\in M_{n\times n}(\Bbb R)$ para que$I\notin span(A,A^2,...,A^n)$. Pruebalo $\det(A)=0$.

Estaba pensando en mostrar que$A$ no es invertible, lo que significa que tiene un valor propio de$0$. Dado que no importa la potencia que le dé a$A$, aún no es la identidad, puede deducir que al menos un valor propio es de hecho$0$. Sin embargo, esto no funciona si tiene valores propios diferentes en Matrix, así que me quedé atascado.

La ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Si$\det A \ne 0$, el término constante de$p(t) = t^n + c_{n-1} t^{n-1} + \cdots + c_1 t + c_0 = \det(tI-A)$, el polinomio característico, es distinto de cero.

Por Cayley-Hamilton,$p(A) = A^n + c_{n-1} A^{n-1} + \cdots + c_1 A + c_0 I_n = 0$.

Por lo tanto, $I_n = -\frac{c_1}{c_0} A - \cdots - \frac{c_{n-1}}{c_0} A^{n-1} - \frac1{c_0} A^n \in \operatorname{span}(A, \cdots, A^n)$.

Answer 2

Por el teorema de Cayley-Hamilton, puede expresar $A^n$ $c_{n-1}A^{n-1}+\cdots+c_0\operatorname{Id}$. Pero entonces $c0=0$, ya que lo contrario $\operatorname{Id}$ sería una combinación lineal de $A,A^2,\ldots,A^{n-1}$. So,$$A.(A^{n-1}-c{n-1}A^{n-2}-\cdots-c1\operatorname{Id})=0.$$If $\det (A) \neq0$, $A$ would be invertible and it would follow from the previous equality that $A^ {n-1} = A c {n-1} ^ {n-1} + \cdots + c_1\operatorname {Id} $. But then, by the same reason as before, $c_1=0$ and so on. So, each $c_k$ is $0$, and so $A^n=0$. So, $\det A = 0$