Resolver

Question

Problema:

$$\text{Solve} \quad 2\tan{2x}\leq3\tan{x}.$$

Un problema de este personaje dará 5 puntos en un examen. Sin embargo, tener la respuesta correcta no es suficiente para obtener todos los 5 puntos. Total rigurosidad y exactitud matemática, en la parte superior de una correcta respuesta final, garantiza el pleno de la cámara. He decidido presentar un (parcial) de la solución aquí y quiero que me ayuden realmente a peine a través de él y la búsqueda de posibles lógicas lagunas.

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Solución intento:

La aplicación de la doble ángulo fórmula para $\tan{x}$ en LHS rendimientos:

$$\text{LHS}=2\cdot\frac{\sin{2x}}{\cos{2x}}=2\cdot\frac{2\sin{x}\cos{x}}{\cos^2{x}-\sin^2{x}}=[\text{Divide by} \ \cos^2{x}\neq0]=\frac{4\tan{x}}{1-\tan^2{x}}.$$

Establecimiento $t=\tan{x}$ y el traslado de la CARTA de más y restando da el equivalente de la desigualdad:

$$\frac{4t}{1-t^2}-3t=\frac{4t-3t(1-t^2)}{1-t^2}=\frac{t(1+3t^2)}{(1+t)(1-t)}=p(t)\leq0.$$

Dado que el factor de $(1+3t^2)>0, \ \forall x\in \mathbb{R}, $ es suficiente para examinar los signos de los factores de $t, \ (1+t), \ (1-t)$, y el de toda la expresión que he denotado $p(t).$ La siguiente tabla se desprende:

\begin{array} {|l|cr} t= & -\infty & -1 & \ & 0 & \ & 1 & +\infty\\ \hline 1+t & - & 0 & + & & + & & +\\ \hline t & - & & - & 0 & + & & +\\ \hline 1-t & + & & + & & + & 0 & -\\ \hline p(t)& + & \varnothing & - & 0 & + & \varnothing & -\\ \end{array}

Esto indica que el solutionset de $p(t)\leq0$ está dado por $t\in(-1,0]\cup(1,\infty).$ en Adelante estoy atascado, no sé cómo volver a $x$. ¿Cómo puedo hacer esto de una manera efectiva?

Answer 1

El objetivo es encontrar las condiciones en $x$ tal que $\tan(x)$ estará en el indicado intervalos. Recordar que si $x\in \left[ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] =: \mathcal{D}$, luego $$\tan(x) = y \iff \arctan(y) = x.$$ No es demasiado difícil ver que $$ \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}, \qquad\text{and}\qquad \arctan(0) = 1.$$ Desde $\arctan$ es creciente y continua en su dominio, se deduce que el $\tan(x) \in (-1,0]$ $x\in\mathcal{D}$ si y sólo si $$ x \in (\arctan(-1),\arctan(0)] = \left( -\frac{\pi}{4}, 0\right].$$ Por un argumento similar, llegamos a la conclusión de que $\tan(x) \in (1,\infty)$ $x\in\mathcal{D}$ si y sólo si $$ x \in \left(\arctan(1),\lim_{y\to\infty} \arctan(y)\right) = \left( \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} \right).$$ Como la función tangente es periódica con periodo fundamental igual a $\pi$, se deduce que, si $x$ satisface el dado de la desigualdad, entonces a se $x + k\pi$ cualquier $k \in\mathbb{Z}$. Por lo tanto el conjunto de soluciones está dado por $$ \bigcup_{k\in\mathbb{Z}} \left[ \left( -\frac{\pi}{4} + k\pi, k\pi\right] \cup \left( \frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi \right) \right].$$

Answer 2

La duplicación de la fórmula para la tangente

$\dfrac{4 \tan x}{1-\tan ^2 x}\leq 3 \tan x$

Traer todos en la PREPA

$\dfrac{4 \tan x}{1-\tan ^2 x}-3 \tan x\leq 0$

agregar juntos

$-\dfrac{\tan x \left(3 \tan ^2 x+1\right)}{\tan ^2 x-1}\leq 0$

cual es mejor como

$\dfrac{\tan x \left(3 \tan ^2 x+1\right)}{\tan ^2 x-1}\geq 0$

El paréntesis de $\left(3 \tan ^2 x+1\right)$ es positivo para alguna de las $x$ porque es la suma de dos cuadrados, así que tenemos que ver donde

$\tan x \geq 0$ verificado en $0\leq x <\dfrac{\pi}{2}\lor \pi\leq x <\dfrac{3\pi}{2}$

y $\tan ^2 x-1>0$ verificado al $\tan x<-1\lor \tan x>1$

que es $\dfrac{\pi }{4}<x<\dfrac{\pi }{2}\lor \dfrac{\pi }{2}<x<\dfrac{3 \pi }{4}\lor \dfrac{5 \pi }{4}<x<\dfrac{3 \pi }{2}\lor \dfrac{3 \pi }{2}<x<\dfrac{7 \pi }{4}$

La solución es entonces

$\dfrac{\pi }{4}<x<\dfrac{\pi }{2}\lor \dfrac{3 \pi }{4}<x\leq\pi \lor \dfrac{5 \pi }{4}<x<\dfrac{3 \pi }{2}\lor \dfrac{7 \pi }{4}<x\leq2 \pi$

Answer 3

Tenemos que resolver $$\frac{4\tan{x}}{1-\tan^2x}\leq3\tan{x}$$ o $$\tan{x}\left(\frac{4}{1-\tan^2x}-3\right)\leq0$$ o $$\frac{\tan{x}(3\tan^2x+1)}{(1-\tan{x})(1+\tan{x})}\leq0,$$ que por el método de los intervalos de da $$\tan{x}<-1$$ or $$0\leq\tan{x}<1$$ y tenemos la respuesta: $$\left[\pi k\leq x<\frac{\pi}{4}+\pi k\right)\cup\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k,-\frac{\pi}{4}+\pi k\right),$$ donde $k\in\mathbb Z$.

Por ejemplo, la desigualdad de $\tan{x}<-1$ podemos resolver de la siguiente manera.

Dibujar el trigonométricas en el círculo (el círculo de $x^2+y^2=1$) y la tangente al círculo en el punto de $B(1,0)$.

Esta línea los nombres de un tangentes eje.

Deje $A(1,a)$ colocado en el tangentes eje.

Por lo tanto, fáciles de ver que $\tan\measuredangle AOB=a$ y ya que tenemos que resolver $\tan{x}<-1$,

llegamos $-\frac{\pi}{2}<x<-\frac{\pi}{4}$ (ver en las tangentes de eje).

Desde el período de $\tan$ es igual a $\pi$, finalmente se obtiene: $$-\frac{\pi}{2}+\pi k<x<-\frac{\pi}{4}+\pi k,$$ donde $k\in\mathbb Z$.

Por la forma similar podemos solucionar $0\leq\tan{x}<1$.