Una secuencia real positivo $(a_n)$

Question

Una secuencia real positivo $(a_n)$ tal que

$$\lim_{n\to \infty} \frac {a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}=L$$

y

$$\lim_{n\to \infty} \frac {a_n}{n}=0$$

A continuación, Mostrar

$$\lim_{n\to \infty} \frac {a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{n^2}=0$$

He intentado crear una desigualdad usando a Cauchy-Schwartz y usando el teorema de apriete, pero no funcionó y he pensado en usar Teorema de Stolz-Cesaro, pero también no funcionó. ¿Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Desde $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{an}{n}=0$, para cualquier $\epsilon\gt0$, hay un $N\epsilon$ así que $k\ge N_\epsilon$, $\frac{a_k}{k}\le\epsilon$.

Por lo tanto, $$\begin{align} \limsup{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum{k=N_\epsilon}^nak^2 &=\limsup{n\to\infty}\sum{k=N\epsilon}^n\frac{ak^2}{k^2}\frac{k^2}{n^2}\ &\le\limsup{n\to\infty}\sum{k=N\epsilon}^n\frac{ak^2}{k^2}\frac{k}{n}\ &\le\epsilon\limsup{n\to\infty}\sum{k=N\epsilon}^n\frac{ak}{k}\frac{k}{n}\ &=\epsilon\limsup{n\to\infty}\frac1n\sum{k=N\epsilon}^nak\[3pt] &\le\epsilon L\tag{1} \end {alinee el} $$ para cualquier $N\epsilon$, $$\begin{align} \lim{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum{k=1}^{N_\epsilon}ak^2=0\tag{2} \end {alinee el} $$ agregar $(1)$ y $(2)$, obtenemos $$ \limsup{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{k=1}^nak^2\le\epsilon L\tag {3} $$ ya que es cierto para cualquier $(3)$, $$ \lim{n\to\infty}\frac1{n^2}\sum_{k=1}^na_k^2 $\epsilon\gt0$ = 0\tag {4} $$