Muestre eso en cualquier triángulo, tenemos$\frac{a\sin A+b\sin B+c\sin C}{a\cos A+b\cos B+c\cos C}=R\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\right),$

Question

Muestran que en cualquier triángulo, tenemos %#% $ $$\frac{a\sin A+b\sin B+c\sin C}{a\cos A+b\cos B+c\cos C}=R\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\right),$ #% Dónde está el circunradio del triángulo.

Aquí está mi trabajo:

Sabemos que $R$, que $A+B+C=180^\circ$. Tapar esto, conseguimos que el $C=180^\circ -(A+B)$ y $\sin C=\sin (A+B)$. Cuando enchufe esto en la ecuación que obtenemos,

$\cos C = -\cos (A+B)$$

Si ampliamos $$\frac{a\sin A+b\sin B+c\sin (A+B)}{a\cos A+b\cos B-c\cos (A+B)}.$ y $c\sin (A+B)$, obtenemos

$c\cos (A+B)$$

Mediante la ley ampliada de Sines, podemos utilizar el $$\frac{\sin A+b \sin B+c \cos A\cos B - c\sin A\sin B}{a\cos A+b\cos B-c\cos A\cos B+c\sin A\sin B}.$, $\sin A=\frac{a}{2R}$ y $\sin B=\frac{b}{2R}$.

¿Cómo puedo seguir en?

Answer 1

Puesto que el teorema de seno implica: $$\sum\text{cyc}a\sin A = \frac{1}{2R}\sum\text{cyc}a^2 \tag{1}$ $ basta probar: %#% $ #% que es trivial puesto que dos veces el área (firmado) del triángulo hecho por $$ \sum_\text{cyc} a \cos A = \frac{abc}{2R^2}=\frac{2\Delta}{R}\tag 2$ y el circumcenter $B,C$ es exactamente $O$:

Answer 2

Usar Ley de senos para el numerador, $\displaystyle\sum\text{cyc}a\sin A=\dfrac{\sum\text{cyc} a^2}{2R}$

Para el denominador, $\displaystyle\sum\text{cyc}a\cos A=\sum\text{cyc}(2R\sin A\cos A)=R\sum_\text{cyc}\sin2A$

Utilizando prueba que $\sin(2A)+\sin(2B)+\sin(2C)=4\sin(A)\sin(B)\sin(C)$ $A,B,C$ cuando los ángulos de un triángulo ,

$\displaystyle\implies\sum\text{cyc}a\cos A=R(4\sin A\sin B\sin C)=4R\prod\text{cyc}\left(\dfrac a{2R}\right)=\cdots$

¿Puede usted llevársela a casa desde aquí?