$\ell ^2$ = conjunto de secuencias de $(x_i)$ de los números reales tales que a $\|x\|=\sum _{i=0} ^\infty x_i ^2<\infty$.
Pregunta: Es $\ell ^2$ $G_\delta$en el producto topología $\mathbb R ^\omega$?
Estoy pensando la respuesta es no, pero no estoy seguro. Para probar esto, he de suponer que suponga $\ell ^2=\bigcap_{n\in\omega}U_n$, donde cada una de las $U_n$ está abierto en $\mathbb R ^\omega$, y, a continuación, consrtuct un elemento con infinito norma que está en cada una de las $U_n$.
Respuesta: Ok, creo que tengo una prueba (que la respuesta es no). Por favor deje un comentario para hacerme saber si usted piensa que está bien.
Prueba. Supongamos $\ell ^2=\bigcap_{n\in\omega}U_n$, donde cada una de las $U_n$ está abierto en $\mathbb R ^\omega$.
Existe un conjunto abierto $B_0$ tal que $x_0:=\langle 1,0,0,...\rangle\in B_0\subseteq U_0$. Deje $\text{supp}(B_0)$ ser el índice de la última trivial abrir subconjunto de $\mathbb R$ que genera $B_0$, y deje $\sigma_0=x_0\restriction \text{supp}(B_0)+1$. Ahora tome un curso básico de abrir $B_1$ tal que $x_1:=\sigma_0^\frown \langle 1,0,0,...\rangle\in B_1\subseteq U_1$. Podemos suponer $\text{supp}(B_1)>\text{supp}(B_0)$. Deje $\sigma_1=x_1\restriction \text{supp}(B_1)+1$. De continuar con este proceso, se construye una secuencia infinita $\bigcup _{n\in\omega} \sigma_n$, que está en todas las $U_n$, sin embargo, tiene una infinidad de $1$'s, y por lo tanto tiene una infinidad de norma. Que es una contradicción. $\square$
Que parecía fácil, así que...
Nueva Pregunta. Es $\ell ^2$ primera categoría como un subespacio de $\mathbb R ^\omega$?
Respuesta: Sí.
Mediante la comparación de la habitual métricas en $\ell^2$$\mathbb R ^\omega$, podemos ver que la topología usual en $\ell^2$ más fino que su topología como un subespacio de $\mathbb R ^\omega$. Por lo tanto $F_n:=\{x\in \ell^2:\|x\|\leq n\}$ es cerrado en $\ell^2$ con la topología de subespacio. Nos muestran cada uno es denso en ninguna parte en $\ell^2$. Considere un conjunto abierto $U\cap \ell^2$ donde $U$ es básica abierta en $\mathbb R ^\omega$. Deje $V=U\cap \pi_j^{-1}[(n,\infty)]$. Si $j>\text{supp}(U)$, luego tenemos a $V\neq\varnothing$. Por lo tanto $V\cap \ell^2$ es un abierto no vacío es subconjunto de a $U\cap \ell^2$, y se echa de menos $F_n$.
Esto nos lleva a otra prueba de que $\ell^2$ no $G_\delta$. Pues si lo fuera, sería completamente metrizable, como $\mathbb R ^\omega$ es completamente metrizable y por lo tanto también lo es cada una de las $G_\delta$. Pero, por supuesto, un completo espacio métrico no es de primera categoría.
