Aplicación rigurosa de Mayer-Vietoris a un cociente de$S^{2}\times I$

Question

Como parte del ejercicio 3.3.24 en Hatcher Topología Algebraica, he calculado la homología de grupos del espacio resultante de $S^{2}\times I$ mediante la identificación de $S^{2}\times\{0\}$ $S^{2}\times\{1\}$ a través de una reflexión. Yo podría intuitivamente ver el resultado, pero necesito ayuda para hacer mi argumento más riguroso.

Yo usados Mayer-Vietoris para ello. He definido $A$ a ser la imagen de $S^{2}\times(1/4, 3/4)$ $B$ la imagen de $S^{2}\times(I-\{1/2\})$ en el cociente del espacio. Es fácil ver que $A$ $B$ deformación retraer en $S^2$, $A\cap B$ la deformación se retrae en $S^{2}\sqcup S^{2}$. Los casos de $n\not=2$ son sencillas. $n=2$ da $$H_{2}(A\cap B)\overset{\phi}{\rightarrow}H_2(A)\oplus H_2(B)\rightarrow H_2(X)\rightarrow 0$$

Esto se reduce a $$\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\overset{\phi}{\rightarrow}\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\rightarrow H_2(X)\rightarrow 0$$

Llame a los generadores del primer grupo $x,y$, y los del segundo grupo $a,b$. Intuitivamente, el "twist" que resultan de la reflexión cambia el signo de uno de los generadores, pero no en el otro. Si me pongo a $\phi(x)=a+b,\ \phi(y)=a-b$ I get $H_2(X)=\mathbb{Z}_2$.

Todo esto tiene sentido. Muchos de los apuntes de clase y MSE respuestas que leer online el uso de MVS de esta manera. Sin embargo no me siento cómodo confiar en la intuición, especialmente a los que todavía estoy en vías de desarrollo. ¿Cómo se puede aplicar la misma lógica más rigurosa? ¿Cómo puedo demostrar el efecto de la "twist" que mencionamos anteriormente, de una manera rigurosa?

Gracias

Answer 1

Deje $S^2$ ser la unidad de la esfera en $\mathbb{R}^3$. Deje $X=S^2\times [0,1]/\sim$ donde $\sim$ es la más pequeña relación de equivalencia que contiene a $(x,0)\sim (r(x),1)$ donde $r:S^2\rightarrow S^2$ es la reflexión en la $xy$-plano. Deje $q:S^2\times [0,1]\rightarrow X$ ser el cociente mapa. Deje $U=X-q(S^2\times \{1\})$, y deje $V=X-q(S^2\times \{1/2\})$. El uso de la estructura de producto como una guía que nos puede deformación retraer $U$ a $A=q(S^2\times \{1/2\})$, e $V$ a $B=q(S^2\times \{1/2\})$. Del mismo modo podemos deformación retraer $U\cap V$ a $C\cup D=q(S^2\times \{1/4\})\cup q(S^2\times \{3/4\})$. Observe que en estas dos deformaciones, $A$ es llevado a $C$ $D$ por el mapa de identidad, natural mediante el identificaciones con $S^2$. Sin embargo, en la deformación de $A$ $C$se pasa a través de la identificación de las finales, por lo que la restricción de la deformación, como un mapa de $B$$C$$r$, si se utiliza el natural identificaciones de $B$$C$$S^2$. Sin embargo, la identificación de $B$ $D$ no pase a través del extremo para la defomation es como el de la identidad.

Ahora, usted necesita tener cuidado de nomenclatura de los mapas en su secuencia, y usted va a obtener la respuesta que se reivindica.

Answer 2

Para trabajar todo esto, usted necesita saber lo que los mapas en la MVS.

Si $i:A\cap B \hookrightarrow A$ $j: A\cap B \hookrightarrow B$ son inclusiones, entonces el mapa $H_*(A\cap B) \to H_*(A) \oplus H_*(B)$ $i_* \oplus j_*.$

Si $i': A\hookrightarrow X$ $j': B\hookrightarrow X$ son las inclusiones, a continuación, el mapa $H_*(A) \oplus H_*(B) \to H_*(X)$ $i'_* - j'_*.$ (en Realidad, los signos en $j_*$ $j'_*$ puede ser cambiado; no estoy seguro de cuál es el estándar de la convención.)

Ahora si arreglar un generador de $H^2(A) = H^2(S^2)$, entonces podemos elegir generadores de $H^2(A\cap B)$, de modo que el mapa de $H^2(A \cap B) \to H^2(A)$ está dado por $(a,b) \mapsto a + b$. Lo que estamos haciendo aquí es la identificación de las dos copias de $S^2$ $A \cap B$ con el uno una copia de $S^2$ $A$ por homotoping a lo largo de ellos (algunos subarc de) arc $(1/4,3/4)$.

Si en vez de eso fueron a identificar a los dos copias de $S^2$ $A \cap B$ con la copia de $S^2$ $B$ POR homotoping ellos a lo largo de $(I \setminus \dfrac{1}{2} )/ 0 \sim 1,$ obtendríamos el opuesto de identificación (porque cuando pasamos de la $0$ $1$aplicamos la reflexión, que cambia el signo del generador de $H^2(S^2)$).

Por tanto, y dado que hemos fijado nuestra base, por lo que el mapa de $i_*$ $(a,b) \mapsto a+b,$ el mapa de $j_*$ es $(a,b) \mapsto a -b$ o $(a,b) \mapsto -a+b$. (Si hemos de intercambio de los dos generadores en $H^2(A\cap B)$, podemos cambiar el mapa de uno de estos a los otros, así que no hay manera de privilegiar una sobre la otra.)

Esto le da lo que quiere.