¡Una suma combinatoria!

Question

¿Hay una fórmula de formulario cerrado para la siguiente suma

\begin{equation} F(x;n,m)=\sum_{k=0}^{\min\{n,m\}} {n \choose k}{m \choose k}k!\ x^{k}=n! \, m!\sum_{k=0}^{\min\{n,m\}}\frac{1}{k!(n-k)!(m-k)!} x^{k} \end{equation}

donde$k$ se ejecuta desde cero hasta el mínimo de$n$ y$m$.

Gracias

Answer 1

Sabemos que$\displaystyle{a\choose b}=0$ para enteros $b>a$, por lo que podemos escribir, sin pérdida de generalización, que$$\begin{align}F_{~m,~n}(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^m\cdots=\sum_{k=0}^n\cdots&=(-x)^n~~U\bigg(-n,~m-(n-1);~-\frac1x\bigg)=\\&=(-x)^m~U\bigg(-m,~n-(m-1);~-\frac1x\bigg),\end{align}$ $ donde U es la función hipergeométrica confluente .