¿Por qué es esta prueba no es 100% correcto? (Criterio de Eisenstein)

Question

He resuelto una pregunta en un examen y me gustaría saber ¿por qué crees que yo no se consigue el 100% de esta pregunta (que me dio 18/20 puntos). La pregunta es para el estado y demostrar el criterio de Eisenstein. He resuelto de la siguiente manera:

Criterio de Eisenstein

Deje $p(X)=a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_0\in \mathbb Z[X]$. Si no existe un número primo $p$ tal que $p\nmid a_n,p\mid a_i$$i=0,\ldots n-1$$p^2\nmid a_0$, $p(X)$ es irreducible en a $\mathbb{Z}[X]$.

Prueba

Supongamos $p(X)$ mantiene las condiciones del teorema y $p(X)=g(X)h(X)$$g(X),h(X)\in \mathbb Z[X], g(X)=b_mX^m+\ldots+b_0$$h(X)=c_tX^t+\ldots+c_0$$m+t=n$. Desde $p\nmid a_n$$p|a_i$$i=0,1,\ldots,n-1$, $a'\in \mathbb Z_p$ tal que $p(X)=a'X^n$$\mathbb Z_p[X]$. Desde $p(X)=g(X)h(X)$, se deduce $g(X)=b'X^m$$h(X)=c'X^t$$\mathbb Z_p[X]$. Por lo tanto,$p^2|b_0c_0$, contradicción, porque $p^2\nmid a_0$.

Answer 1

Las posibilidades son puntos fueron atracados por descuidado (o no-perfecto) la formulación. Aquí es un montón de nitpicks.

• Utiliza el mismo símbolo, $p$, para el polinomio y el primer.
• El grado de $p$ debe ser de al menos $1$, es decir,$n \geq 1$.
• "Supongamos $p(X)$ mantiene las condiciones del teorema de la" suena extraño para mí.
• No es inmediatamente claro qué se entiende exactamente por "Supongamos $p(x)$ mantiene las condiciones del teorema". Siendo muy estrictos, yo lo interpreto como "Supongamos que existe un primer $p$ la satisfacción de las condiciones como en el teorema", pero entonces no formalmente recogido un $p$.
• Formalmente, es su enfoque asume que $p(X)$ es reducible y luego derivar una contradicción, o es su acercamiento a la escritura de $p(X)$ como producto $g(X)h(X)$ y deducir que una de las $g(X)$, $h(X)$ es una unidad? Que no es claro de inmediato en el punto en el que se introducen $g(X)$$h(X)$.
• $a'$ es justo (el residuo de la clase de) $a_n$; por lo que "existe $a'$" entonces?
• Mismo para$b'$$a'$.
• La prueba es más elegante si usted reducir modulo $p$ a la derecha en el comienzo, sin tomarse la molestia de dar nombres a los coeficientes de $g(X)$$h(X)$.
• Usted podría ser más explícito acerca de por qué la $p^2 \mid b_0 c_0$ y sobre el hecho de que $b_0 c_0 = a_0$.

Ahora, es este valor de la deducción $10$% de los puntos disponibles? No sé, pero hay un caso para "la prueba no es 100% perfecto y por lo tanto no vale la pena 100% de los puntos".

Answer 2

Hay dos paga para demostrar el Criterio de Eisenstein. Es un método para la escritura de $g(X)$ $h(X)$ y demostrar que $m=n$ o $t=n$. Este método es un poco tedioso. Segundo método es comenzar por tomar modulo $p$. Este método es de aproximadamente 1 de la línea de tiempo. Parece que utiliza una mezcla de estos dos. Su solución es más o menos correcto pero un poco difícil de leer. Me siento como el grado justo desnatada a través de él, tenía problemas para entender, y decidió darle un 8/10 y no molestar a comprender plenamente.