Compactación por extremos

Question

Estoy intentando resolver el Ejercicio 1.19 del Volumen 1 de "A comprehensive introduction to Differential Geometry" de Spivak.

Tras la definición de "fin" de $X$ una topología en el nuevo espacio $X\cup \epsilon(X)$ se define "eligiendo como barrios de un fin $\epsilon_0$ los conjuntos $N_C(\epsilon_0)= \epsilon_0(C)\cup \{\text{ends }\epsilon : \epsilon(C)=\epsilon_0(C)\}$ , para todo C compacto".

Ahora, con esto, supongo que define $V$ sea una vecindad de $x$ en $X$ si existe un subconjunto abierto $U$ de $X$ con $x\in U\subset V$ y ahora con este sistema de barrios en cualquier punto de $X$ o terminan en $\epsilon(X)$ sólo hay una topología en $X\cup \epsilon(X)$ que genera. A saber, $V$ está abierto en $X\cup \epsilon(X)$ si $V$ es una vecindad de cada uno de sus puntos.

Supongo que ésta es la topología de la que estamos hablando. ¿Estoy en lo cierto?

Intento demostrar que $X\cup \epsilon(X)$ es un espacio compacto para $X$ un espacio de Hausdorff conectado, localmente conectado y localmente compacto, pero para un caso esto parece no ser cierto.

Tomemos el subespacio del plano definido por $X=\{(x,0) \mid x\in \mathbb{R}\}\cup \bigcup_{n\in\mathbb{Z}}\{(n,y)\mid y\geq 0\}$ este espacio satisface todas las propiedades enumeradas anteriormente. Además, tiene y fin $\epsilon_n$ para cada "ramificación" $\{(n,y)\mid y\geq 0,n\in\mathbb{Z}\}$ . Sin embargo, podríamos cubrir $X$ con cualquier colección de subconjuntos abiertos de $X$ (no incluya ninguno de los barrios de extremos recién introducidos), y únalo a la cubierta $\epsilon(X)$ con la tapa ${N_{\overline{B(n,1/2)\cap X}}(\epsilon_n)}_{n\in \mathbb{Z}}$ de $\epsilon(X)$ y cada $N_{\overline{B(n,1/2)\cap X}}(\epsilon_n)$ contiene exactamente un extremo, $\epsilon_n$ .

Además, $N_{\overline{B(n,1/2)\cap X}}(\epsilon_n)$ es obviamente una vecindad de cada uno de sus puntos, por lo que es abierta en $X\cup \epsilon(X)$ . Por lo tanto, a partir de la cubierta abierta resultante de $X\cup \epsilon(X)$ no se puede extraer una subcubierta finita, porque sólo tendría una cantidad finita de $N_{\overline{B(n,1/2)\cap X}}(\epsilon_n)$ y, por tanto, incluiría sólo una cantidad finita de extremos, mientras que $\epsilon(X)$ es infinito.

Así que.., $X\cup \epsilon(X)$ no es compacto.

Esto me lleva a pensar que no estoy trabajando con la topología correcta. ¿Alguna luz sobre esto?

Gracias de antemano.

Answer 1

Su definición es correcta. Lo que le falta es que $X$ tiene dos extremos más además de los extremos $\epsilon_n$ tiene un final $\epsilon_{\infty}$ en el que $x\to\infty$ y un final $\epsilon_{-\infty}$ en el que $x\to-\infty$ . Es decir, si $C\subset X$ es compacto, $\epsilon_\infty(C)$ es el componente (único) de $X\setminus C$ en el que el $x$ es ilimitada por encima y $\epsilon_{-\infty}(C)$ es el componente (único) de $X\setminus C$ en el que el $x$ es ilimitada por debajo. Una vecindad de $\epsilon_{\infty}$ debe contener todos los $\epsilon_n$ . Así que si tuviera que ampliar su cubierta abierta añadiendo un conjunto que contenga $\epsilon_\infty$ sólo tendrías un número finito de $\epsilon_n$ dejado al descubierto, rompiendo tu contraejemplo.