Supongamos que tenemos esta ecuación:
$y = 1 + x + \lceil \log_2(x)\rceil$
donde $x$ es un entero > $0$.
¿Cómo podemos obtener $x$ en función de $y$ (básicamente aislante $x$)? No entiendo cómo manejar el techo y la función logarítmica.
Gracias.
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marty cohen
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Hay dos problemas en conseguir un $x$ como una función de la $y$ ($y$ ya es una función de $x$):
El techo de la función ($\lceil x \rceil$) hace la función de $x$ discontinua en los enteros.
Incluso si el techo de la función no estaban allí, y la función $y = 1 + x + \log_2(x)$, esto podría no ser explícitamente invertida. Si lo escribimos en la forma $y = \log_2(2x 2^x)$, tenemos que la función W de Lambert está involucrado.
Estos dos problemas hacen que la inversión difícil.
El cartel decía lo de los dominios de $x$ $y$ fueron. Las dos opciones más obvias son los enteros y los reales. En cualquier caso, un algoritmo puede ser desarrollado para obtener $x$, pero tendría que ser iterativo y tomar en cuenta los dos problemas mencionados anteriormente.
El hecho de que $x$ es un número entero positivo no lo hace más fácil. Voy a tratar el caso general, donde el dominio de la naturaleza es $(0,+\infty)$.
Esta función es seccionalmente afín.
Para cada entero$n$$2^n<x\leq 2^{n+1}$,$n<\log_2x\leq n+1$$\lceil\log_2x\rceil=n+1$. Por lo tanto: $$ f(x)=x+1+n+1=x+n+2. $$
Ahora observar que
$$
\lim_{x\rightarrow 2^n-}f(x)=2^{n-1}+1+n<2^n+1+n+1=\lim_{x\rightarrow 2^n+}f(x).
$$
De ello se desprende que los intervalos de $f((2^n,2^{n+1}])$ son pares distintos.
Por lo $f$ es un bijection $$ f:(0,+\infty)=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}(2^n,2^{n+1}]\longrightarrow \bigcup_{n\in\mathbb{Z}}f((2^n,2^{n+1}])=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}(2^n+n+2,2^{n+1}+n+2]. $$ Vamos a encontrar su inversa en cada intervalo en cada intervalo de la gama.
Así que vamos a $y\in (2^n+n+2,2^{n+1}+n+2]$. Estamos buscando a $x\in(2^n,2^{n+1}]$ tal que $$ f(x)=y\quad\Leftrightarrow\quad x+n+2 \quad\Leftrightarrow\quad x=y-n-2. $$ Así $$ f^{-1}(y)=y-n-2\qquad\forall y\(2^n+n+2,2^{n+1}+n+2]. $$ A diferencia de $f(x)$, no veo la manera de expresar esto $n$ en términos de $\log_2y$ con funciones conocidas. Dadas las deficiencias en el dominio de $f^{-1}$, tengo duda de que existe una fórmula general.
