Acerca de las matemáticas constructivas y la teoría de tipos de Homotopy

Question

Soy un CSer y estoy leyendo el HoTT libro y encontré que haciendo matemáticas con el ordenador es fascinante.

He encontrado que constructivo de las matemáticas en comparación con los clásicos de la matemática es hermoso porque:

• tipo teórico de la fundación es mucho más bello que el conjunto teórico de la fundación
• prueba de matemáticas pertinentes
• mecanizado comprobado prueba

pero una cosa que me molestó bastante, es que algunas estructuras clásicas es tan complicado en constructivo de las matemáticas, y "clásico nociones equivalentes se bifurcan", por ejemplo

• tenemos dos tipos de número real y
• tenemos 3 tipos de compacidad (HoTT p.391)

Es esto significa que la construcción nos trae una visión más clara en matemáticas, o simplemente incapacidad sin el derecho de excluir en el medio? Podemos tener la máquina-revisado de la prueba en los clásicos de la matemática?

Answer 1

Un aspecto importante de la Univalentes Fundaciones es que es compatible con la clásica de las matemáticas. De hecho, Voevodsky del conjunto simplicial modelo de Martin-Lof tipo de la teoría con la univalence axioma de los modelos de la ley del medio excluido. Así que si usted insiste en hacer las cosas clásicamente en Homotopy Tipo de Teoría, puede hacerlo a su contenido de los corazones. Usted sólo va a perder un poco de generalidad, es decir, sus construcciones no va a funcionar en todos los modelos del tipo de la teoría, sino sólo en los clásicos. Pero el equipo asistida teoremas no se ha perdido por sólo asumiendo LEM. Sin embargo, cuando usted tiene una computadora de la prueba que implica el axioma de elección de la ley de medio excluido y se intenta ejecutar la prueba (como si se tratase de un programa) el equipo se atasque en las instancias donde se ha aplicado la CA o de la LEM.

En cuanto a los distintos conceptos de los números reales o compacidad, consideran que es una riqueza o de una deficiencia. Depende de sus fines, que no has explicado.