Es cada proceso continuo un proceso de Ito

Question

Veo a veces en literatura matemáticas financieras que hemos cubierto todo continuos procesos al asumir la dinámica siguiente: $dX_t = \mu_t \, dt + \sigma_t \, dW_t$.

Yo puedo formular mi pregunta de dos maneras y no estoy seguro de que son completamente equivalentes:

1. ¿Cada proceso continuo es un proceso de Ito?
2. ¿Cada proceso continuo se puede descomponer en una parte browniana y una parte de la variación finita (Semimartingale)?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

En general, los procesos continuos no ser semimartingales (y por lo tanto Itô procesos). Un ejemplo clásico es el movimiento Browniano fraccional con Hurst índice $H \neq \frac{1}{2}$. El proceso es un proceso Gaussiano y tiene la muestra continua de rutas, pero no llega a ser un semimartingale (ver esta pregunta).

Matemáticas financieras, tiende a ignorar el hecho de que el mundo no se rige por el movimiento Browniano (y ni siquiera por los más grandes de la clase de procesos continuos)...