Un conjunto $X$ es finito si existe una función $f:X\to X$ que sólo tiene como subconjuntos estables $\emptyset$ y $X$ .

Question

Estoy tratando de resolver la siguiente pregunta:

Dejemos que $f:X\to X$ sea una función. Un subconjunto $Y\subset X$ es estable relativamente a $f$ cuando $f(Y)\subset Y$ . Demostrar que un conjunto $X$ es finito si y sólo si existe una función $f:X\to X$ que sólo tiene como estables subconjuntos $\emptyset$ y $X$ .

Si $X$ es finito, digamos $X=\{x_1,x_2,...x_n\}$ , defina $f$ como $f(x_i)=f(x_{i+1})$ , si $i=2,...,n-1$ y $f(x_{n})=x_1$ . Entonces $f:X\to X$ tiene sólo como estables subconjuntos $\emptyset$ y $X$ .

Tengo problemas con el converso, necesito ayuda en esta parte.

Muchas gracias

Answer 1

Dejemos que $X$ sea un conjunto infinito, y $f : X \to X$ una función arbitraria. Elige $x_{0} \in X$ , defina recursivamente $x_{i+1} = f(x_{i})$ y forma $Y = \{ x_{i} : i \ge 1 \}$ . Claramente $Y$ es estable y no está vacía.

Si $x_{0} \notin Y$ entonces $Y \ne X$ .

Si $x_{0} \in Y$ , digamos que $x_{0} = x_{n+1}$ entonces $Y = \{ x_{0}, \dots, x_{n} \}$ es finito, por lo que $Y \ne X$ .