Un polinomio complejo que satisface$p(z)=p(\bar z) \forall z$ en el círculo unitario es constante

Question

Esta pregunta fue parte de una prueba de Análisis complejo.

Permita que$p(z) \in \Bbb{C}$ sea un polinomio complejo tal que$p(z)=p(\bar z) \forall z$ en el círculo unitario ($∣z∣=1$). Muestre que$p(z)$ es constante.

Ahora, creo que la mejor manera de abordar esto es a través del Teorema de identidad, pero no he podido encontrar las funciones adecuadas para hacerlo funcionar. Un enfoque más directo, que supone un$p(z)=a_nz^n+...+a_1z+a_0={\bar a_n}{\bar z^n}+...+{\bar a_1}{\bar z}+\bar a_0$, tampoco ayudó. ¿Algunas ideas?

Answer 1

Editar: la prueba se modifica según la idea de @ quartermind. $$ p (z) = \ frac {p (z) + p (\ bar {z})} {2} + \ frac {p (z) -p (\ bar {z})} {2} = \ frac {p (z) + p (\ bar {z})} {2} $$ De ahí $$ p (z) = \ sum_ {k = 0} ^ na_ {k} \ frac {z ^ k + \ bar { z} ^ k} {2} = \ sum_ {k = 0} ^ na_ {k} r ^ k \ cos {k \ theta} = \ sum_ {k = 0} ^ na_ {k} r ^ k (\ cos {k \ theta} + i \ sin {k \ theta}) = \ sum_ {k = 0} ^ na_ {k} z ^ k $$ Por lo tanto, para cualquier$r<1, \theta\in[0,2\pi]$ $$ \ sum_ {k = 0} ^ na_ {k} r ^ k \ sin {k \ theta} = 0 $$ Concluimos que$a_k=0, \:k>1$, es decir,$p(z)$ es constante.

Answer 2

Sustituir$z$ por$e^{it}$,$t \in \mathbb R$, luego $$ p (z) = f (t) = a_0 + \ sum_ {k = 1} ^ n a_k (\ cos kt + i \ sin kt) $$ donde$a_k \in \mathbb C$.

Desde$p(z) = p(\overline{z})$ obtenemos$f(t) = f(-t)$, y por lo tanto cada coeficiente de$\sin kt$ para$k \geqslant 1$ es igual a cero.