¿Existe una cubierta doble con grupo de transformación de cubierta trivial?

Question

Perdón por la pregunta ingenua. La siguiente afirmación al principio de Bredon, capítulo 4, §20, me confundió:

Dejemos que $\pi:X \to Y$ sea un mapa de cobertura de dos hojas. Sea $g:X \to X$ sea la única transformación de cubierta no trivial. [...]

Sin hipótesis adicionales sobre $X$ y $Y,$ es Bredon quien afirma que el grupo de transformación de cubierta de $\pi$ es siempre $\mathbb{Z}/2?$ He pensado que podría ser el grupo trivial, pero aún no he podido elaborar un ejemplo concreto.

Answer 1

Obsérvese la clasificación de los espacios de cobertura (por ejemplo, el teorema 1.38 de Hatcher y la proposición 1.39): Una cubierta de dos hojas $p : (\tilde X, \tilde x_0) \to(X, x_0)$ está determinada por el subgrupo $\Gamma = p_*\left[\pi_1(\tilde X, \tilde x_0)\right] \subset \pi_1(X, x_0)$ que es de índice dos. Ahora, un subgrupo de índice dos es automáticamente normal, y entonces el grupo de transformación de la cubierta es isomorfo al cociente $\pi_1(X, x_0)/\Gamma$ que es de orden dos.

Como Travis señaló en su comentario, la transformación de la cubierta no trivial es bastante fácil de describir explícitamente. No es más que una traducción geométrica de la conocida prueba de que un subgrupo de índice dos es normal (que puedo recordar en pocas palabras: si $H \subset G$ es de índice dos, su único coset izquierdo no trivial tiene que ser $G \setminus H$ y lo mismo para el coset derecho, por lo que tenemos $gH = Hg$ por cada $g \not\in H$ . Como también es cierto [y obvio] para $g \in H$ , $H$ es realmente normal).

Answer 2

¿Por qué una respuesta a una pregunta de hace cinco años? Sencillamente porque es una pregunta interesante y las respuestas existentes no recogen realmente la pregunta del título.

Demostraremos que la respuesta es "no" sin ninguna suposición sobre $X,Y$ .

El alcance del libro de Bredon se limita a los espacios de Hausdorff, conectados por arcos y localmente conectados por arcos (véase también la respuesta de Valentin). Por lo tanto, la definición de Bredon de un mapa de cobertura no es la más general (véase, por ejemplo aquí ). Sin embargo, dentro del ámbito de Bredon, PseudoNeo cuenta la historia completa. Valentín muestra que para los espacios de cobertura generales el grupo de transformaciones de cubierta puede ser mayor que $\mathbb Z_2$ .

Así pues, demostremos los dos teoremas siguientes para mapas generales de cobertura de dos hojas $\pi : X \to Y$ .

Teorema 1. Existe una única transformación de cubierta $g : X \to X$ sin puntos fijos. Esta transformación de la cubierta invierte los puntos de cada fibra $\pi^{-1}(y)$ , $y \in Y$ .

Observación. Cada transformación de la cubierta $\phi$ tiene la propiedad $\phi \circ \phi = id_X$ . Así, todos los elementos no triviales del grupo $\mathcal D(\pi)$ de transformaciones de cubierta de $\pi$ han pedido dos. Si $\phi \ne id_X$ entonces $D(\phi) =\{id_X,\phi\}$ es un subgrupo de $\mathcal D(f)$ tal que $D(\phi) \approx \mathbb Z_2$ . Como ha demostrado Valentín, puede haber más de una $\phi$ es decir, el $\mathcal D(f)$ puede tener más de un subgrupo isomorfo a $\mathbb Z_2$ .

Teorema 2. Si $X$ está conectado, entonces $id_X$ y $g$ son las únicas transformaciones de la cubierta. Así, $\mathcal D(\pi) \approx \mathbb Z_2$ .

Prueba del teorema 1: Para cada $x \in X$ existe un único $g(x) \in X$ tal que $\pi^{-1}(\pi(x)) = \{x,g(x)\}$ . Esto nos proporciona una función $g : X \to X$ tal que

1. $\pi \circ g = \pi$
2. $g$ no tiene puntos fijos.

Claramente, $g$ es una biyección tal que $g^{-1} = g$ . Demostraremos que $g$ es continua (lo que implica que $g$ es un homeomorfismo y, por tanto, una transformación de cubierta). Cada $y \in Y$ tiene un barrio abierto $U(y)$ en $Y$ que está cubierto uniformemente, es decir $\pi^{-1}(U(y)) = V_{+1}(y) \cup V_{-1}(y)$ con un abierto disyuntivo $V_i(y) \subset X$ , $i = \pm 1$ de manera que las restricciones $\pi_i : V_i(y) \to U(y)$ de $\pi$ son homeomorfismos. Es evidente que cada $V_i(y)$ contiene exactamente un punto de cada fibra $\pi^{-1}(y')$ , $y' \in U(y)$ . En otras palabras, si $x \in V_i(y)$ entonces $g(x) \in V_{-i}(y)$ . Para $x \in \pi^{-1}(U(y))$ Por lo tanto, tenemos $$g(x) = \begin{cases} \pi_{-1}(\pi_{+1}(x)) & x \in V_{+1}(y) \\ \pi_{+1}(\pi_{-1}(x)) & x \in V_{-1}(y) \end{cases}$$ Esto demuestra que $g \mid_{\pi^{-1}(U(y))}$ es continua. Pero $X$ está cubierto por los conjuntos abiertos $\pi^{-1}(U(y))$ , $y \in Y$ Por lo tanto $g$ es continua.

Prueba del teorema 2: Ciertamente $id_X$ y $g$ son transfomaciones de cubierta distintas. Sea $\phi : X \to X$ sea una transformación de cubierta arbitraria. Claramente $id_X, g,\phi$ son elevaciones de $\pi : X \to Y$ . Desde $X$ está conectado, es bien sabido que dos ascensores coinciden si coinciden en algún punto $x \in X$ . Véase, por ejemplo, la proposición 1.34 de Hatcher. Escoja cualquier $x \in X$ . Entonces, o bien $\phi(x) = x = id_X(x)$ o $\phi(x) = g(x)$ y concluimos que $\phi = id_X$ o $\phi = g$ .

Answer 3

Una pequeña adición a la declaración de singularidad: Bredon sólo trabaja con espacios de cobertura conectados por arcos. Si no asumimos $X$ para ser conectado considere un mapa entre espacios con topologías discretas $\{a_1,a_2, b_1,b_2\} \to \{a,b\}$ , donde $a_i\mapsto a, b_i\mapsto b$ . Este $2$ -cubierta de lámina tiene $4$ Transformaciones de cubierta (el grupo de transformaciones de cubierta es isomorfo a $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ ).

Este es un caso especial de una construcción más general de $p$ -mapas de cobertura de un espacio con $pn$ apunta a un espacio con $n$ puntos con grupo de transformación de cubierta isomorfo a $\prod_{i=1}^n S_p$ . Aquí $S_p$ denota el grupo de permutación. También podemos sustituir los puntos por uniones disjuntas de cualquier espacio fijo para obtener estos resultados en una situación general.