Ayuda para calcular la integral de la raíz cuadrada racional

Question

Esas técnicas integrales que pensé que nunca necesitaría recordar están volviendo para morderme.

¿Hay alguna forma de calcular integrales de la forma $$ \int_0^\infty \frac1{\sqrt{1 + a x^2 + b x^4}} dx $$

Me siento desesperado al respecto, pero cualquier referencia / consejos serán apreciados.

Answer 1

Quizá aún no necesites recordarlos, porque no ayudan mucho con esta integral. Vale, la sustitución ayuda un poco. Pero, la integral no se puede expresar en términos de funciones con las que estés familiarizado. Sólo se puede expresar en términos de integral elíptica completa de primer tipo denotado por $K$ abajo.

Si recuerdas la fórmula cuadrática, no te sorprenderá saber que el signo de $a^2-4b$ asuntos. (Por cierto, supongo que $a,b$ en tu post son números positivos).

Caso 1: $a^2\ge 4b$ . La sustitución $u=b^{1/4}x$ cambia la integral a $$b^{-1/4}\int_0^\infty \frac1{\sqrt{1+cu^2+u^4}}\,du \label{1}\tag{1}$$ donde $c=a/\sqrt{b}\ge 2$ . Podemos escribir $c=k+k^{-1}$ para algunos $0<k\le 1$ y obtener $$\int_0^\infty \frac1{\sqrt{1+cu^2+u^4}}\,du = \sqrt{k}\,K\left(\sqrt{1-k^2}\right) \label{2}\tag{2}$$ cortesía de Maple. (No veo de inmediato qué sustitución cambia el lado izquierdo de $(\ref{2})$ a la definición de $K$ .)

Caso 2: $a^2\le 4b$ . Sustituir $u=a^{1/2}x$ para cambiar la integral a $$a^{-1/2}\int_0^\infty \frac1{\sqrt{1+u^2+cu^4}}\,du \label{3}\tag{3}$$ donde $c=b/a^2\ge 1/4$ . Toma, $$\int_0^\infty \frac1{\sqrt{1+u^2+cu^4}}\,du = c^{-1/4}K\left(\frac12 \sqrt{2-1/\sqrt{c}}\right) \label{4}\tag{4}$$ De nuevo, no consigo justificar $(\ref{4})$ con una transformación explícita.

Comprobación de cordura: cuando $a^2=4b$ la primera fórmula da como resultado $b^{-1/4}K(0)$ mientras que el segundo da $a^{-1/2}(b/a^2)^{-1/4}K(0)$ . Es lo mismo.

Answer 2

"No veo de inmediato qué sustitución cambia el lado izquierdo de (2) a la definición de $K$ ."

Consideremos en primer lugar la integral indefinida

$$\int\frac{\mathrm du}{\sqrt{au^4+bu^2+1}}$$

Dejar

$$h=\frac{b\pm\sqrt{b^2-4 a}}{2}$$

tenemos la factorización

$$\frac1{\sqrt{a}}\int\frac{\mathrm du}{\sqrt{\left(u^2+\frac{h}{a}\right)\left(u^2+\frac1{h}\right)}}$$

Ahora procedemos a hacer una sustitución trigonométrica, $u=\frac{\tan\,v}{\sqrt{h}}$ para producir

$$\frac1{\sqrt{h}}\int\frac{\mathrm dv}{\sqrt{1-\left(1-\frac{a}{h^2}\right)\sin^2 v}}$$

En este punto, ahora prestamos atención a los límites; ya que $\arctan(0)=0$ y $\arctan(\infty)=\pi/2$ entonces tenemos

$$\frac1{\sqrt{h}}\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm dv}{\sqrt{1-\left(1-\frac{a}{h^2}\right)\sin^2 v}}=\frac1{\sqrt{h}}K\left(1-\frac{a}{h^2}\right)$$

En general, $h$ será compleja, por lo que será necesario evaluar la integral elíptica completa del primer tipo para argumentos complejos. Afortunadamente, si se utiliza la AGM para evaluar la integral elíptica completa, seguirá funcionando; todo lo que se necesita es aritmética compleja.