Deje $(x^i)$ coordenadas locales en la base de nuestra colector $M$ y deje $(x^i, \xi_j)$ ser inducida por las coordenadas de la cotangente del paquete de $T^* M$. Deje $\pi : T^*M \to M$ ser la proyección de $(x^i, \xi_j) \mapsto (x^i)$. Se induce una $C^\infty (M)$-lineal mapa en $1$-formas, que voy a escribir como $\pi^* : \Omega^1 (M) \to \Omega^1 (T^* M)$. En las coordenadas, este envía una $1$forma $\phi = \phi_i \, \mathrm{d} x^i$ (el convenio de sumación de) a $(\phi_i \circ \pi) \, \mathrm{d} x^i$. Como de costumbre esto induce a una $\mathbb{R}$-lineal mapa de las fibras, es decir,$\pi^*_{(x, \xi)} : T^*_x M \to T^*_{(x, \xi)} (T^* M)$, el envío de la covector $p$ a la covector $(p, 0)$. (Debemos ser cuidadosos y distinguir entre covectors y $1$-formas aquí, para evitar la confusión.)
El tautológica $1$-forma en $T^* M$ se define a ser $\pi^*_{(x, \xi)} \xi$ en cada punto de $(x, \xi)$$T^* M$. ¿Por qué esta fórmula sentido? Bien, $\xi$, por definición, es un elemento de $T_x^* M$, por lo que typechecks. Por lo tanto el punto de $(x, \xi)$ se asigna a la covector $(\xi, 0)$ $T^*_{(x, \xi)} (T^* M)$ , y para el tautológica $1$-forma en coordenadas está dada por
$$\xi_i \, \mathrm{d} x^i$$
como se reivindica. (El coeficiente de $\mathrm{d} \xi_j$$0$, por supuesto).
(Tal vez la razón a nadie le gusta escribir esto en su totalidad es porque la naturaleza tautológica de la construcción hace que sea muy confuso, a menos que uno mantiene un historial de los tipos de todas las expresiones involucradas.)
