Proyectivo derecho pero no bimodulo proyectivo

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo con $1$ . ¿Cuál es un ejemplo de derecho $R$ -Módulo $M$ (y un anillo $R$ ) tal que $M$ es proyectiva como un derecho $R$ -pero no proyectiva como un $R$ -bimódulo (suponiendo $M$ tiene estructura de $R$ -bimódulo).

Answer 1

Tomemos el bimódulo regular $_RR_R$ es libre (por lo tanto proyectiva) como una izquierda/derecha $R$ -pero proyectiva como un $R$ - $R$ -bimódulo sólo si $\text{Hom}_{R-R}(_RR_R,-)\cong \text{HH}^0(R;-): M\mapsto \{m\in M\ |\ \forall r\in R: rm=mr\}$ es exacta.

Ejemplo donde no es el caso: Considere $R = {\mathbb Z}[X]$ . Identificación de $R$ - $R$ -bimódulos con ${\mathbb Z}[X,Y]$ -el mapa de cociente ${\mathbb Z}[X,Y]\to{\mathbb Z}[X,Y]/(X-Y)$ es suryente, pero el elemento simétrico $\overline{1}\in{\mathbb Z}[X,Y]/(X-Y)$ no se eleva a uno en ${\mathbb Z}[X,Y]$ .