Al considerar la descomposición primaria en módulos, ¿por qué a menudo supone que $M$ es un módulo finitamente generado sobre un anillo noetheriano del $R$ y no sólo que $M$ es noetheriano? Según tengo entendido esta suposición extra no es necesario probar la existencia o las características de unicidad de la descomposición primaria de submódulos.
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htc
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Estoy de acuerdo contigo en que parece ligeramente más limpio simplemente asumir que M es noetheriano. Sin embargo, si M es un módulo noetheriano sobre un anillo comutativo R, M es un módulo fiel R/ann(M), y el último anillo es noetheriano. Así que en cierto sentido, hay muy poca distinción entre los dos casos.
Creo que es porque en un montón de pruebas, las personas utilizan el hecho de que $M\neq 0 \Rightarrow \mbox{Ass}(M)\neq \varnothing$ y esto es cierto sólo para los anillos noetheriano.
Idea: Que $\mathcal{S}={\mbox{Ann}(m)\subset R,\;m\neq 0 }$. Si $R$ es noetheriano entonces $\mathcal{S}$ tiene un elemento máximo, decir $\mathfrak{p}=\mbox{Ann}(m)$ $m\neq 0$. Entonces $1\notin \mathfrak{p}$ $m\neq 0$ y $xy\in \mathfrak{p}$ $y\notin \mathfrak{p}$ y $xym=0$ y $ym\neq 0$ y $x\in \mbox{Ann}(ym)$. Es claro de la definición que $\mathfrak{p}=\mbox{Ann}(m)\subseteq \mbox{Ann}(ym)$, que $\mathfrak{p}=\mbox{Ann}(ym)$ por maximality. Así $x\in \mathfrak{p}$ $\mathfrak{p}$ es una privilegiada (asociada).
