Generalice la igualdad$\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{n\cdot(n+1)}=\frac{n}{n+1}$

Question

Estoy leyendo un libro The Art and Craft of Problem Solving. Intenté conjeturar una fórmula más general para las sumas donde los denominadores tienen productos de tres términos. Me "ensucié las manos", pero no veo ninguna regularidad en los numeradores.

Por favor, escribe tus ideas.

Answer 1

Suponiendo que el $n$ésimo término de la serie $S_k^N$ desea suma es $$ x_k^n=\frac1{n(n+1)\cdots(n+k)}, $$ el método estándar es para descomponer como suma $$ x_k^n=\sum\limits_{i=0}^k\frac{c_{i,k}}{n+i}, $$ para algunos coeficientes de $(c_{k,i})_i$ y continuar desde allí. Por ejemplo, $$ x_2^n=\frac1{n(n+1)(n+2)}=\frac12\cdot\frac1n-\frac1{n+1}+\frac12\cdot\frac1{n+2}, $$ por lo tanto $$ S_2^N=\sum_{n=1}^Nx_2^n=\frac12\sum_{n=1}^N\frac1n-\sum_{n=2}^{N+1}\frac1{n}+\frac12\sum_{n=3}^{N+2}\frac1{n}, $$ y a partir de ahí se puede deducir de una forma cerrada de la expresión de $S_2^N$.

Otro método es la nota que $$ (k+1)x_{k+1}^n=x_k^n-x k^{n+1}, $$ por lo tanto $$ (k+1)S_{k+1}^N=x_k^1-x_k^{N+1}, $$ es decir, $$ S_{k}^N=\frac1{k}\left(\frac1{1\cdot2\cdots k}-\frac1{(N+1)\cdot(N+2)\cdots(N+k)}\right). $$

Answer 2

Demasiado tiempo para un comentario, algunas de las respuestas publicadas son más largas de lo que necesitan. No necesita la descomposición de fracciones parciales completas o las calculadoras / matemáticas:

ps

Así

ps

Sumando, el lado derecho es telescópico, por lo tanto

ps

Answer 3

Este tipo de técnica de llamadas fracciones parciales y puede ser aplicada a varios problemas similares.

Si desea un muy poderoso techinque, trate de leer un libro que se llama A=B.

El uso de Mathematica (no sólo tres términos, pero con los k)

$\displaystyle\sum_{x=1}^{n}\prod_{i=0}^{k}\frac{1}{x+i}=\frac{-k \Gamma (k+2) \Gamma (n+1)-n \Gamma (k+2) \Gamma (n+1)-\Gamma (k+2) \Gamma (n+1)+k \Gamma (k+n+2)+\Gamma (k+n+2)}{k \Gamma (k+2) \Gamma (k+n+2)}$

$\Gamma(n+1)=n!$