Que $\zeta_N$ ser una raíz primitiva de la unidad por lo que $\mathbb{Q}(\zeta_N)$ es una extensión de ciclotómicas $n$-th. Estoy interesado en el irracional números (real) $\alpha$ $\mathbb{Q}(\zeta_N)$ tal que $\alpha^m \in \mathbb{Z}$ $m \in \mathbb{N}$. ¿Tal $\alpha$ tiene que ser de la forma $\alpha = A^{1/m}$ donde $A$ consiste solamente en factores primeros dividiendo $N$? ¡Muchas gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como ha declarado la pregunta, hay algunos trivial contraejemplos. Por ejemplo, si $N=5$,$\alpha = 2\sqrt5\in \mathbb Q(\zeta_5)$, e $\alpha^2 = 20\in \mathbb Z$ pero $2\mid 20$$2\nmid 5$.
Sin embargo podemos rescatar cosas:
Deje $K = \mathbb Q(\zeta_N)$. Si $\alpha\in K$ no es una unidad de forma tal que $a=\alpha^n$ es un squarefree entero para algunos $n\ge 2$ $p$ es un primer dividiendo $a$,$p\mid N$.
Vamos a reformular esta pregunta un poco. Desde $\alpha^n = a$ $\alpha$ no es una unidad, como ideales $$a\mathcal O_K = (\alpha\mathcal O_K)^n=(\mathfrak p_1\cdots\mathfrak p_m)^n$$ para algunos (no necesariamente distintos) de los números primos $\mathfrak p_i\subset\mathcal O_K$. Por lo tanto, si $p\mid a$,$p\mathcal O_K\mid a\mathcal O_K$, por lo que $$p\mathcal O_K = \prod_{i=1}^m\mathfrak p_i^{a_i}$$ para algunos enteros no negativos $a_i\le n$.
Ahora, por el hecho crucial: desde $a$ es squarefree, el $a_i$ no todos los ser $\le 1$ - de lo contrario $p^2\mathcal O_K$ también se dividen $a\mathcal O_K$; la restricción de a $\mathbb Z$, esto significaría que el $p^2\mid a$, lo que no puede suceder.
Por lo tanto $p$ debe ser ramificado en $\mathcal O_K$. Y es un teorema general que los únicos números primos que se ramifican en $\mathbb Q(\zeta_N)$ son los que dividen $N$.
