Prueba: una intersección contable de conjuntos abiertos y densos en un Hausdorff compacto $X$ es denso

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio compacto de Hausdorff y sea $\{U_n\}$ sea una colección contable de subconjuntos abiertos y densos en $X$ . Demuestre que la intersección $$\bigcap\limits_{n=1}^\infty U_n$$ es denso.

He intentado demostrar que el cierre de esta intersección es igual a la intersección de los cierres de cada conjunto, pero no consigo nada.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Dejemos que $X$ sea un espacio compacto y de Hausdorff.

Dejemos que $\{U_n\}$ sea una colección contable de subconjuntos abiertos y densos en X.

Dejemos que $O$ sea un conjunto abierto. Como $U_1$ es denso, debe intersecar $U_1$ en un conjunto abierto no vacío $O_1$ . Dejemos que $x_1 \in O_1$ y como el espacio es Hausdorff y compacto existe $B_1(x_1)$ un conjunto abierto que contiene $x_1$ y $\overline{B_{1}(x_1)}$ está contenida en $O_1$ . Ahora, porque $U_2$ es denso, intersecta $B_{1}(x_1)$ en un conjunto abierto no vacío $O_2$ . Del mismo modo, dejemos que $x_2 \in O_2$ y tomar $B_2(x_2)$ tal que el cierre $\overline{B_{2}(x_2)}$ está contenida en $O_2$ .

Con este proceso obtuvimos una secuencia anidada de conjuntos cerrados no vacíos $\overline{B_1} \supseteq \overline{B_2} \supseteq \overline{B_3} \supseteq ... \supseteq \overline{B_n} \supseteq ... $ . Como $X$ es compacto, entonces existe $ x \in \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline{B_n} $ . De esta manera, $x \in O_n$ para cada $n$ y por lo tanto $x \in O \cap \bigcap\limits_{n=1}^{\infty} {U_n}$ . Así, $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} {U_n}$ interseca cada conjunto no vacío $O$ en al menos un punto, es decir, precisamente, que $\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} {U_n}$ es denso en $X$ .

Answer 2

Lo que se busca es Teorema de Baire . (La prueba en Wikipedia es para un espacio métrico completo, pero la prueba es similar para un espacio compacto de Hausdorff).