Cómo encontrar esto $I_{n}=\int_{-1}^{1}\arccos{\left(\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}x^{2k-1}\right)}dx$

Question

Encuentre este valor $$I_{n}=\int_{-1}^{1}\arccos{\left(\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}x^{2k-1}\right)}dx=\pi?$$

Mi intento: ya que $$\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}x^{2k-1}=\dfrac{x(1-(-x^2)^{n})}{1+x^2}$$ así que $$I_{n}=\int_{-1}^{1}\arccos{\left(\dfrac{x(1-(-x^2)^{n})}{1+x^2}\right)}dx$$ entonces no puedo trabajar. ¡Muchas gracias!

Answer 1

Dejemos que $\displaystyle\phi(x)=\cos^{-1}\left(\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^kx^{2k+1}\right)$ . Observe que $\phi(-x)+\phi(x)=\pi$ .

Buscamos $$ \begin{align} \int_{-1}^1\phi(x)\,\mathrm{d}x &=\int_0^1(\phi(x)+\phi(-x))\,\mathrm{d}x\\ &=\int_0^1\pi\,\mathrm{d}x\\[9pt] &=\pi \end{align} $$ Podríamos haber utilizado cualquier función impar que mapee $[-1,1]\mapsto[-1,1]$ en lugar de la suma que hemos utilizado aquí y obtendremos la misma respuesta.