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Cómo encontrar esto In=11arccos(nk=1(1)k1x2k1)dx

Encuentre este valor In=11arccos(nk=1(1)k1x2k1)dx=π?

Mi intento: ya que nk=1(1)k1x2k1=x(1(x2)n)1+x2 así que In=11arccos(x(1(x2)n)1+x2)dx entonces no puedo trabajar. ¡Muchas gracias!

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Anthony Shaw Puntos 858

Dejemos que ϕ(x)=cos1(n1k=0(1)kx2k+1) . Observe que ϕ(x)+ϕ(x)=π .

Buscamos 11ϕ(x)dx=10(ϕ(x)+ϕ(x))dx=10πdx=π Podríamos haber utilizado cualquier función impar que mapee [1,1][1,1] en lugar de la suma que hemos utilizado aquí y obtendremos la misma respuesta.

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