En mi clase de álgebra se nos enseña que hay sólo 3 básica de funciones trigonométricas (coseno, seno y tangente). Pero mi amigo que es de 2 calificaciones en matemáticas de los niveles de delante de mí, está diciendo que hay 6 funciones trigonométricas (coseno, seno, tangente, cotangente, secante y cosecante). ¿Alguien sabe por qué se nos enseña de manera diferente y que uno de nosotros es la correcta?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Depende de cómo se mire, supongo, pero:
$$\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$$
$$\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$$
$$\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$$
Así que los tres "extra" de las funciones de su amigo hablé sólo deriva de los tres que usted sabe. Pero si esa es la regla, entonces, dos de los que saben,
$$\cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$$
$$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{\sin{x}}{\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)}$$
son también derivados de las funciones. Por lo tanto podemos decir que hay sólo una función trigonométrica, por ejemplo,$\sin{x}$.
(Como otros han mencionado, esta instrucción funciona incluso contando las funciones hiperbólicas, porque de propiedades como $\cosh(x) = \cos(ix)$ y así sucesivamente, o el uso de $e^{\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta}$. Pero ya que no parecen ser en este nivel de la matemática, sin embargo, no voy a entrar en detalle acerca de eso.)
Línea de fondo: que sólo se necesita una función trigonométrica, pero para la práctica de razones, hay más.
Michael Weiss
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1878
Os recomiendo esta entrada de blog por John Cook: como él dice, la respuesta de la calculadora es de 3, el colegio de libros de texto de respuesta es de 6, y la respuesta histórica es de al menos 12
runeh
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1304
Las tres partes de la $a,b,c$ de un ángulo recto del triángulo puede hacer nueve relaciones de $$\frac aa, \frac ab, \frac ac, \frac ba, \frac bb, \frac bc, \frac ca, \frac cb, \frac cc$$
Tres de estas proporciones son trivialmente igual a $1$, y los otros seis nombres (dependiendo de donde el ángulo recto).
Si $r$ es una relación, entonces es $\frac 1r$, por lo que los coeficientes vienen en pares. Así que a veces la gente piensa de tres ratios básicos de seno, coseno y tangente, porque los demás son sus recíprocos, y estos tres son suficientes, porque se puede dividir a por ellos si es necesario.
Como sucede cuando se trata de cálculo (especialmente la integración) resulta que las otras relaciones útiles, así que aunque los nombres no son muy utilizados en los primeros trabajos, que son de utilidad para conocer más tarde.
Desde tan=sin/cos y en un ángulo recto del triángulo $\sin^2+\cos^2=1$ podemos escribir todo en términos de la función seno de si nos gusta (y no de la mente tomando raíces cuadradas).
Sucede que una de las maneras más útiles de escritura de estas funciones en términos de una función es el uso de $t=\tan \frac {\theta}2$ cuando recibimos la agradable expresiones $$\sin\theta=\frac {2t}{1+t^2}, \cos \theta=\frac {1-t^2}{1+t^2}$$
Domingo
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471
Para ser un poco tonto, sólo hay una "trig" de la función. Por la fórmula de Euler, $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$, para los valores de los ángulos $\theta$. Esto significa que $$e^{-i\theta} + e^{i \theta} = (\cos \theta + i \sin \theta) + (\cos (-\theta) + i \sin (-\theta)) = 2 \cos \theta$$ desde $\cos \theta$ es incluso y $\sin \theta$ es impar.
El uso de algo similar para $\sin \theta$, podemos escribir $$\cos \theta = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2},$$ $$\sin \theta = \frac{e^{i \theta} - e^{-i\theta}}{2i}.$$
A partir de la identidad $\tan \theta = \frac{\sin \theta} {\cos \theta}$, podemos escribir
$$\tan \theta = \frac{e^{i \theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i \theta} + e^{-i \theta})}.$$
Y el adicional de funciones trigonométricas seguir fácilmente de lo anterior, y escribimos: $$\sec \theta = \frac{2}{e^{i \theta} + e^{-i \theta}},$$ $$\csc\theta = \frac{2i}{e^{i \theta} - e^{-i\theta}},$$ $$\cot \theta = \frac{i(e^{i \theta} + e^{-i\theta})}{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}.$$
Diego Dias
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6879
Se puede decir que hay 3 (o 2) básico (y supongo que deben de tener cuidado con este término) funciones trigonométricas. Todas las demás funciones que usted ha mencionado son sólo otros nombres para las diferentes expresiones de la misma 3 funciones: $$\sec x = \frac1{\cos x}$$ $$\csc x = \frac1{\sin x}$$ $$\cot x = \frac1{\tan x}$$ En mis ojos, es como si me decidí a crear una función llamada Wambo: $$\operatorname{Wambo} x = \frac{\sin x + \cos x + \tan x}{\sum_{w=1, a=0, m=0, b=0, o=w^2}^{\infty}\sqrt{w^{ambo}}}$$ El punto es, no realmente ser otro "trig" de la función. Sería un derivado de los originales.
Sin embargo, técnicamente hablando, incluso un Wambo contaría como una función trigonométrica de acuerdo a la definición (será publicado más adelante en este post). Y cuando usted piensa acerca de ello, incluso los básicos de funciones trigonométricas no pararse sobre sus propios, y todos ellos se definen el uno al otro. Me refiero a:
$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$
Usted aprenderá más tarde en trigonometría que:
$$\sin x = \cos (90 - x)$$
Y hay un montón de otros... todos Ellos están conectados.
El artículo de la Wikipedia sobre esto define una función trigonométrica como cualquier función que relaciona los ángulos de un triángulo con las longitudes de sus lados. Sorprendentemente, no se incluye Wambo. Lo que dice acerca de cómo muchos que hay:
En el uso moderno, hay seis básica de funciones trigonométricas, tabulados aquí con las ecuaciones que relacionan la una a la otra. Especialmente con el último de los cuatro, estas relaciones se toma a menudo como el las definiciones de estas funciones, pero uno puede definir ellos igual de bien geométricamente, o por otros medios, y a continuación se derivan de estas relaciones.
La definición implica $\infty$, pero el párrafo de arriba dice que hay 6 (excepto, en realidad no). Otros lugares dicen que hay 3, pero yo diría que hay 2 debido a $\sin$ $\cos$ son sólo 2 únicas relaciones. Pero, de nuevo, por lo que la $\sin$$\tan$. O $\cos$$\tan$. Supongo que me acababa de decir 3 a continuación. Pero, de nuevo, $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Pero, de nuevo... stop.
Cuando el apocalipsis zombie llega, sólo hay uno: Wambo. Hasta entonces, no hay una respuesta real a cuántos hay. Su amigo la respuesta es tan aceptable como el tuyo.
