He leído un texto que dice así:
Sólo porque un homomorfismo $ :G H$ está determinada por la imagen de sus generadores no significa que cualquiera de ellas vaya a funcionar.
Por ejemplo Supongamos que intentamos definir el homomorfismo $ :Z_3 Z_4$ por $(1)=1$ obtenemos $(0)=(1+1+1)=3$ lo que no es posible ya que $(0)=0$ .
¿Existe algún caso en el que un homomorfismo esté totalmente determinado por sus generadores?
Ampliaré mi comentario en una respuesta:
Teorema: Dado un grupo w $$G = \langle \, g_i \bigm| r_j \, \rangle $$ dado otro grupo $H$ y dada una función $f$ que asigna a cada $g_i$ un valor $f(g_i) \in H$ la función $f$ e a un homomorfismo $F:G \to H$ si y sólo si cada $f(r_j)$ es la identidad.
Pruebas: Sea $\langle g_i \rangle$ denota el grupo libre con base libre $\{g_i\}$ . Sea $N$ sea el subgrupo normal más pequeño de $\langle g_i \rangle$ que contiene $\{r_j\}$ . Por definición de presentación, $$G = \langle g_i \rangle \, / \, N $$ Sea $q : \langle g_i \rangle \to G$ sea el homomorfismo del cociente.
Por la propiedad universal para grupos libres, la función $f$ se extiende a un homomorfismo $\widetilde F : \langle g_i \rangle \to H$ . Sea $K = \text{kernel}(\widetilde F)$ . Entonces tenemos la siguiente cadena de equivalencias: $\{r_j\} \subset K$ $\iff$ $N < K$ $\iff$ existe un homomorfismo $F : G \to H$ tal que $F \circ q = \widetilde F$ $\iff$ existe un homomorfismo $F : G \to H$ que amplía $f$ .
+1. Creo que tu respuesta es muy buena y responde completamente a la pregunta con toda generalidad. ¿Se encuentra en algún libro? Me gustaría seguir leyendo sobre temas relacionados.
Gracias, señor. No estoy seguro de qué libro recomendar, aunque el tema se trata en libros sobre teoría combinatoria de grupos. Uno de los libros más antiguos es Magnus/Karass/Solitar, aunque a veces no adopta el punto de vista abstracto más limpio.
Sólo para aclarar algo. Si $f$ sólo se define en cada $g_i$ ¿cómo sabemos, a priori, qué es $f(r_j)$ ? Muchas gracias.
Un homomorfismo es siempre determinado por sus generadores, sea o no un isomorfismo. Para ser explícitos:
P: ¿existe algún caso en el que un homomorfismo esté totalmente determinado por sus generadores?
R: Sí, en todos los casos posibles. Un homomorfismo es siempre definido por sus generadores.
Todo lo que el ejemplo está diciendo es que no se puede simplemente tomar algún mapa de los generadores y esperanza que es un homomorfismo.
Tres ejemplos más:
Cualquier mapa $\phi: \mathbb{Z}_n\rightarrow\mathbb{Z}$ , $1\mapsto x$ para $x\neq 0$ no es un homomorfismo, ya que si lo es entonces $n\cdot x=0$ ¡Una contradicción!
Supongamos que $\gcd(n, m)=1$ . Entonces $\phi: \mathbb{Z}_m\rightarrow\mathbb{Z}_n$ , $1\mapsto x$ para $x\neq 0\pmod n$ no es un homomorfismo porque la imagen del subgrupo $\mathbb{Z_m}$ debe tener orden dividiendo $m$ (¿por qué?) pero todos los subgrupos de $\mathbb{Z}_n$ tienen orden dividiendo $n$ . (Esto es una generalización del ejemplo dado en su pregunta).
Supongamos que $G$ es sencillo y $H$ no contiene ningún subgrupo isomorfo a $G$ . Entonces cualquier mapa $\phi: G\rightarrow H$ donde los generadores no se asignan a la identidad de $H$ no es un homomorfismo. Por ejemplo, los generadores de un mapa $\phi: A_5\rightarrow \mathbb{Z}_n$ debe ser enviado a la identidad, de lo contrario el mapa no es un homomorfismo.
Por supuesto, puede que te preguntes "cuándo cada elección de generador produce un homomorfismo". Si es así, esto no está claro. Pero entonces deberías leer la respuesta de Martin.
No sé exactamente lo que me pregunta, pero piense en la restricción que busca es si su mapa es $\phi: G\rightarrow H$ entonces se desea que los generadores generen un subgrupo de $H$ que es isomorfo a un homomorfismo de $G$ . En mi primer ejemplo, $\mathbb{Z}$ no contiene elementos de orden finito pero todas las imágenes homomórficas de $\mathbb{Z}_n$ son cíclicos finitos. En el tercer ejemplo, $G$ sólo tiene a sí mismo y al grupo trivial como imagen homomórfica, pero $H$ no contiene una copia de $G$ .
Para ser más claro quiero decir que supongamos que tengo que construir un homomorfismo $\phi :$$ G $$\rightarrow$$ H$,para definir un mapeo sobre el generador luego tendré que comprobar si funciona para cada elemento del grupo G.¿No sería tedioso.Me puedes ayudar ilustrándolo con un ejemplo.
@WantTobeAbstract Ah, vale, sólo tienes que comprobar que el homomorfismo funciona para los relatores de una presentación dada (con tus generadores dados). Podrías encontrar esta respuesta mío útil.
Por el teorema fundamental de los homomorfismos, $\hom(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},G) \cong \{g \in G : g^n=1\}$ El $n$ -torsión de $G$ . En otras palabras, $g^n=1$ es la única relación que requiere la imagen $g$ del generador canónico de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . De ello se deduce fácilmente $\hom(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/\mathrm{ggT}(n,m)$ .
Si $E$ genera $G$ entonces $\hom(G,H) \to \mathrm{Map}(E,H)$ es inyectiva . Esto es lo que se entiende por "un homomorfismo está determinado por las imágenes de los generadores". Es suryectivo (para todo $H$ ) si y sólo si $E$ es un gratis grupo generador de $G$ es decir $G= F(E)$ es un grupo libre . Sólo en este caso, cada elección de las imágenes produce un homomorfismo.
En general, un presentación en grupo contiene exactamente la información sobre las relaciones necesarias para definir un homomorfismo. Por ejemplo, $G=\langle x,y : x^2 = y^5=1 , xyx^{-1} = y^2 \rangle$ es el grupo con la propiedad de que los homomorfismos $G \to H$ corresponden a elementos $a,b \in H$ (las imágenes de $x,y$ ) tal que $a^2=b^5=1$ y $aba^{-1} = b^2$ .
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Diga $G$ tiene generadores que satisfacen un conjunto de relaciones (por ejemplo, $g+g+g=0$ en su ejemplo). Si $\phi$ envía los generadores de $G$ a elementos de la imagen de forma que se satisfagan todas estas relaciones, entonces se sabe que $\phi$ es un homomorfismo.
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¿Estás preguntando "cuándo cada elección de generador produce un homomorfismo"? Esta pregunta es distinta de la de los estados (¡pero es más interesante!).
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@user1729 Sí tenía las dos dudas 1.)cuándo cada elección de generador produce un homomorfismo 2.) un homomorfismo está totalmente determinado por sus generadores.Tu respuesta me ha aclarado la 2.).
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¿Ayuda o no mi respuesta? Si no, la borraré.
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@user1729 eso significa que vamos a poner una restricción en los generadores de tal manera que se cumple para ser un homomorfismo always.that parece bueno teóricamente, pero ¿cómo podemos pensar de esta manera, mientras que la construcción de algún ejemplo.Please ayuda
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El comentario de @angryavian merece mayor énfasis, porque responde a una versión de tu pregunta que puede ser lo que realmente quieres saber. A saber, si tienes una presentación $\langle a_i \, | \, r_j \rangle$ del grupo $G$ y si se le dan valores de $\phi(a_i) \in H$ para todos los generadores $a_i$ entonces esto se extiende a un homomorfismo $\phi : G \to H$ sólo si $\phi(r_j)$ es el elemento de identidad de $H$ para cada relator $r_j$ .
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Hola @Lee Mosher, ¿tienes alguna referencia en un texto donde se pueda encontrar esta afirmación? Gracias
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@user50229: No estoy seguro de la referencia, supongo que está en alguno de los libros más antiguos de teoría combinatoria de grupos como Magnas, Karass y Solitar. Pero añadiré otra respuesta con un esbozo de la prueba.