Encontrar el x ' s para que f (x) es un número entero

Question

Estoy tratando de mejorar mis conocimientos de matemáticas y he encontrado este ejercicio en mi libro.

Tenemos la siguiente función: $$f: \mathbb R\to \mathbb R$$ $$f(x) = \frac {4x+1}3$$ I've been asked to find out one value for $ x$ such that $f(x)$ is a whole number. I found some solutions and afterwards I determined that for all $$x_n=\frac {3^{2n}-1}4$$ where n is a natural number different from 0 , $f(x_n)$ es un número entero. No estoy 100% seguro de que esto es correcto pero parece que funciona para todas las energías positivas incluso de 3.

He estado tratando de demostrar que esta fórmula es corecta, pero no tuvo éxito. ¿Podría alguien indicarme sobre cómo probar este tipo de problemas y qué mirar hacia fuera para? Gracias.

Answer 1

Para ver que la expresión siempre funciona, tenga en cuenta que $$3^{2n}=(3^2)^n=9^n=(1+8)^n=1+n\times 8 + \binom n2\times 8^2 +\cdots + 8^n\implies$$$$3 ^ {2n} -1 = \binom n2\times 8 n\times 8 ^ 2 + \cdots + 8 ^ n $$ which is manifestly divisible by $4 $, and even divisible by $8$.

En términos más generales, aunque cualquier número entero de la forma $x=3k+2$ (para el entero $k$) a trabajar.

Answer 2

$$ (4x+1)/3 = k $$

$$ (4x+1)=3k$$

$$ 4x=3k-1 $$

$$ x=(3k-1)/4$$

Así para todos los enteros $ k \ge 0 $ si dejas $x=(3k-1)/4 $, usted conseguirá $f(x)=k$ que es un número entero.

Answer 3

$\frac {4x + 1}3= m \in \mathbb N$

Entonces $4x + 1 = 3m$

$4x = 3m -1$

$x = \frac {3m -1}4$. Ahora $x$ no tiene que ser un número entero lo $m = 0,1,2,3,4,5.....$ que conseguimos $x = \frac {-1}{4}, \frac {1}{2}, 2, \frac {11}4, \frac 72....$ y $f(x) = 0,1,2,3,4,5..... $ etcetera.

Ahora si $m = 3^{2n-1}$ $x = \frac {33^{2n-1} -1}4 = \frac {3^{2n} -1}4$ es sin duda aceptable pero muy muy* específicos.

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En otras palabras:

$\frac{4(\frac {3^{2n} - 1}4) + 1}{3}=\frac {(3^{2n}- 1) + 1}3=\frac {3^{2n}}3 = 3^{2n-1}$ es un número entero.

Pero también lo es $\frac {4(\frac {3m-1}4) + 1}3 = \frac {(3m-1)+1}3 = \frac {3m}3 = m$.

Answer 4

Se han encontrado algunas de las soluciones... no han encontrado todas las soluciones.

Si $f(n)$ es una solución $f(n +3) = \frac {4(n+3) + 1}{3} = \frac {4n + 1}{3} + 4$

Y así una vez que encuentre uno, entonces sabes que añadir $3$ dé otro.

Así que restando $3.$

Otra forma de pensar...

$f(x) = \frac {4 x + 1} {3} \ f (x) = \frac {3 x + x + 1} {3} \ f (x) = x + \frac {x + 1} {3} $

Y entonces usted necesita encontrar esos $x$ tal que el último término es un número entero.