Demostrar que $\left|\int^{x+1}_{x}\sin(t^2)dt\right|<\frac1x$ por cada positivo $x$

Question

Que la función: $$f(x)=\int^{x+1}_{x}\sin(t^2)dt$$ Pruébalo:

$$|f(x)|<1/x \mbox{ if } x>0$$

Utilizar las relaciones $\sin(x)<x$ y $\sin(x)\leq1$ para todos $x\in R$ . No he llegado a la respuesta.

Answer 1

Supongamos que $x>0$ . Se puede integrar por partes de la siguiente manera $$ \begin{align} f(x)&=\int^{x+1}_{x}\sin(t^2)dt \\\\&=\int^{x+1}_{x}\frac{2t\sin(t^2)}{2t}\:dt \\\\&=\left[\frac{-\cos(t^2)}{2t} \right]^{x+1}_{x}-\int^{x+1}_{x}\frac{\cos(t^2)}{2 t^2}\:dt \end{align} $$ dando $$ |f(x)|< \left(\frac1{2x}+\frac1{2(x+1)}+\int^{x+1}_{x}\frac{dt}{2 t^2}\right)=\frac1x $$ como se esperaba.

Answer 2

\begin{align} \Big|\int_{x}^{x+1}\sin(t^2)\,dt\Big|&\le\int_{x}^{x+1}|\sin(t^2)|\,dt=\int_{x}^{x+1}\frac{|\sin(t^2)|2t}{2t}\,dt\le\frac{1}{2x}\int_{x}^{x+1}|\sin(t^2)|2t\,dt=\\ &=\frac{1}{2x}\int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{x+1}}|\sin(s)|\,ds<\frac{1}{2x}\int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{x}+\pi}|\sin(s)|\,ds=\frac{1}{2x}\cdot 2=\frac1x. \end{align}