Quiero mostrar la igualdad de $\operatorname{div} X = -\delta X^\flat$ donde $X \in \Gamma(TM)$ $M$ es algunos de Riemann colector con tensor métrico $g_{ij}$. Si no me equivoco tiene para la de Riemann de conexión. Bueno, vamos a $X =X^k e_k$, luego $$ \nabla_i (X^k e_k) = \frac{\partial X^k}{\partial x^i}e_k+X^j \Gamma^k_{ij} e_k, \\ \operatorname{div} X= \frac{\partial X^i}{\partial x^i}+X^j \Gamma^i_{ij}, \\ \Gamma^i_{ij} = \frac 1 2 g^{ik}(\partial_i g_{kj} + \partial_j g_{ki} - \partial_k g_{ij}). $$ En el otro lado $$ X^\plana = g_{ij}X^j \theta^i, \\ \nabla_k X^\plana = g_{ij} \nabla_k (X^j \theta^i) = g_{ij} \frac{\partial X^j}{\partial x^k} \theta^i - g_{sj}X^j \Gamma^s_{ki} \theta^i, \\ \delta X^\plana=-g^{ki}\left( g_{ij} \frac{\partial X^j}{\partial x^k} - g_{sj}X^j \Gamma^s_{ki} \right) = -\frac{\partial X^i}{\partial x^i} + g^{ki}g_{sj} X^j \Gamma^s_{ki}. $$ Podemos ver que $\operatorname{div} X = -\delta X^\flat$ mantiene el fib $$ X^j \Gamma^i_{ij} = -g^{ki}g_{sj}X^j \Gamma^s_{ki}. $$ Ahora recuerdo que $$ \Gamma^s_{ki} = \frac 1 2 g^{ls}( \partial_{k} g_{li}+\partial_i g_{lc} - \partial_l g_{ki}), \\ g_{sj}\Gamma^s_{ki}=\frac 1 2 (\partial_k g_{ji}+\partial_i g_{jk}-\partial_j g_{ki}), \\ g^{ki}g_{sj}\Gamma^s_{ki} = \frac 1 2 g^{ki}(\partial_k g_{ji}+\partial_i g_{jk}-\partial_j g_{ki}). $$ Por lo tanto la igualdad de $\operatorname{div} X = -\delta X^\flat$ sostiene que si $$ g^{ik}(\partial_i g_{kj} + \partial_j g_{ki} - \partial_k g_{ij}) = g^{ik}(-\partial_k g_{ji}-\partial_i g_{jk}+\partial_j g_{ki}), \\ g^{ik} \partial_i g_{kj} = -g^{ik} \partial_i g_{jk}. $$ Pero la igualdad de $g^{ik} \partial_i g_{kj} = -g^{ik} \partial_i g_{jk}$ es muy irreal. Por favor, dime, ¿dónde está el problema?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Parece que usted está usando $\delta \alpha = -g^{ij} \nabla_j\alpha_i$ como su definición. Así que tu pregunta es realmente la razón por la $\nabla_i X^i = g^{ij} \nabla _i X_j$, o en general por qué
$$\nabla_i X^k = g^{jk} \nabla _i X_j\ .$$
Hay varias maneras de responder a su pregunta.
El primero es el más perezoso de uno (y más útil). Debido a ambos lados de la ecuación son independientes de las coordenadas, es suficiente para comprobar la ecuación usando cualquier sistema de coordenadas en cualquier punto de $x$. En particular, utilizamos normal de coordenadas tal que $$g_{ij}=g^{ij} = \delta _{ij}\ ,\ \text{ and }\ \ \Gamma_{ij}^k = 0 = \partial_k g_{ij}\ \ \text{at }x\ .$$
Entonces
$$ g^{jk} \nabla_i X_j = g^{jk} \nabla_i \big( g_{jl} X^l\big) = \frac{\partial X^k}{\partial x^i} = \nabla_i X^k\ \ \ \text{at }x\ .$$
El segundo método es calcular directamente:
$$g^{jk} \nabla_i X_j = g^{jk} (X_{j, i} - \Gamma_{ij}^l X_l) = g^{jk} \big((g_{jm}X^m)_i - \Gamma_{ij}^l g_{lm}X^m\big)$$ que es
$$g^{jk} \nabla_i X_j = X^k_{\ ,i} + g^{jk}X^m \big(g_{jm,i} - \Gamma_{ij}^l g_{lm} \big)\ .$$
Utilizando la definición de $\Gamma$,
$$g_{jm,i} - \Gamma_{ij}^l g_{lm} = g_{jm,i} - \frac{1}{2} g^{ln} \big( g_{jn, i} + g_{ni, j} - g_{ij,n} \big)g_{lm} = \frac{1}{2}\big(g_{ij,m} + g_{jm,i} -g_{mi,j}\big)$$
Por lo tanto $g^{jk} \nabla_i X_j = X^k_{\ ,i} + \Gamma_{im}^k X^m = \nabla_i X^k$.
El último es conceptual. El proceso de subir o bajar los índices se puede pensar en una composición de dos operaciones. Primero tensor $X$ con la métrica $g$ ($(0,2)$ tensor) para formar un $(1, 2)$-tensor de
$$ (g\otimes X)^k_{\ ij} = g_{ij} X^k\ ,$$
siga por la contracción de $C$ (suma superior a los índices y menor índice). Así
$$(X^b)_i = C(g\otimes X)_i= g_{ij}X^j \ .$$
Como $\nabla$ conmuta con cualquier contracción y $\nabla g=0$ (métrica),
$$\nabla X^b = \nabla \big(C (g\otimes X)\big) = C\nabla(g\otimes X) = C\big( \nabla g \otimes X + g\otimes \nabla X\big) = C\big(g\otimes \nabla X\big)\ .$$
Esta es una de coordinar la libre expresión de la ecuación
$$\nabla_i X_j = g_{jk} \nabla_i X^k \Leftrightarrow g^{jk}\nabla_i X_j = \nabla_i X^k\ .$$
