Muestran que $f(x)=\sqrt{x}:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ no es una función Lipschitz.

Question

Una función $f:D\rightarrow \mathbb{R}$ se dice que es una función Lipschitz siempre que exista un número no negativo $C$ tal que

$|f(u)-f(v)|\le C|u-v|$ % todo $u,v\in D$

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Queremos mostrar que hay existen $u,v\in [0,1]$, que $|\sqrt{u}-\sqrt{v}|\le C|u-v|$ es falsa, pero no encuentro nada que funciona. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Supongo que $f$ es lipschitz. Entonces, existe $C\ge 0$ tales que para todos los $u,v\in [0,1]$ sostiene que $|\sqrt u - \sqrt v|\leq C|u-v|$.

Esta desigualdad debe sostener para todos $u,v$, en particular para $u\neq v$, por lo tanto, bajo esta hipótesis sostiene que $C\ge \left|\dfrac{\sqrt u-\sqrt v}{u-v}\right|=\left|\dfrac{\sqrt u-\sqrt v}{(\sqrt u-\sqrt v)(\sqrt u+\sqrt v)}\right|=\left|\dfrac{1}{\sqrt u+\sqrt v}\right|=\dfrac{1}{\sqrt u+\sqrt v}$.

¿Puede usted concluir?

Answer 2

$|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\leq C |x-y|\Rightarrow \big|\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{x-y}\big| \leq C \Rightarrow 1 \leq C |\sqrt{x}+\sqrt{y}|$

Ahora puedes decir dado $C>0$números reales $x,y$ que viole esta ley...

No debería ser tan difícil que supongo...