¿La transformación logarítmica mitigará siempre la heteroscedasticidad?

Question

¿La transformación logarítmica mitigará siempre la heteroscedasticidad? Porque el libro de texto afirma que la transformación logarítmica suele reducir la heteroscedasticidad. Por lo tanto, quiero saber en qué casos no disminuirá la heteroscedasticidad.

Answer 1

No; a veces lo empeora.

La heteroscedasticidad en la que la dispersión es casi proporcional a la media condicional tenderá a mejorar si se toma el log(y), pero si no aumenta con la media a un ritmo cercano (o más), entonces la heteroscedasticidad a menudo empeorará con esa transformación.

Porque la toma de registros "arrastra" los valores más extremos de la derecha (valores altos), mientras que los valores del extremo izquierdo (valores bajos) tienden a estirarse hacia atrás:

esto significa que los márgenes se reducirán si los valores son grandes, pero pueden estirarse si los valores ya son pequeños.

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Si se conoce la forma aproximada de la heteroscedasticidad, a veces se puede elaborar una transformación que haga aproximadamente constante la varianza. Esto se conoce como transformación estabilizadora de la varianza es un tema estándar en la estadística matemática. Hay una serie de entradas en nuestro sitio que se refieren a las transformaciones estabilizadoras de la varianza.

Si la dispersión es proporcional a la raíz cuadrada de la media (varianza proporcional a la media), entonces una transformación de raíz cuadrada -la transformación estabilizadora de la varianza para ese caso- tenderá a hacerlo mucho mejor que una transformación logarítmica; la transformación logarítmica hace "demasiado" en ese caso. En el segundo gráfico, la dispersión disminuye a medida que aumenta la media, y entonces la toma de logaritmos o de raíces cuadradas la empeoraría. (Resulta que la potencia de 1,5 en realidad lo hace razonablemente bien para estabilizar la varianza en ese caso).

Answer 2

Según mi experiencia, cuando los datos tienen forma de cono y están sesgados (lognormales o de otro tipo), la transformación logarítmica es la más útil (véase más adelante). Este tipo de datos suele provenir de poblaciones de personas, por ejemplo, usuarios de un sistema, donde habrá una gran población de usuarios ocasionales poco frecuentes y una pequeña cola de usuarios frecuentes.

He aquí un ejemplo de datos en forma de cono:

x1 <- rlnorm(500,mean=2,sd=1.3)
x2 <- rlnorm(500,mean=2,sd=1.3)
y <- 2*x1+x2
z <- 2*x2+x1

#regression of unlogged values

fit <- lm(z ~ y)
plot(y,z,main=paste("R squared =",summary.lm(fit)[8]))
abline(coefficients(fit),col=2)

Tomando los logaritmos de y y z se obtiene :

#regression of logged values

fit <- lm(log(z) ~ log(y))
plot(log(y),log(z),main=paste("R squared =",summary.lm(fit)[8]))
abline(coefficients(fit),col=2)

Tenga en cuenta que al hacer la regresión sobre los datos registrados cambiará la forma de la ecuación del ajuste de $y=ax+b$ a $log(y) = alog(x)+b$ (o alternativamente $y=x^a e^b$ ).

Más allá de este escenario, yo diría que nunca está de más intentar graficar los datos registrados, incluso si no hace que los residuos sean más homocedásticos. A menudo revela detalles que no se verían de otro modo o extiende/comprime los datos de forma útil