Intuición sobre cambio base de esquemas

Question

Deje $S=Spec(A)$ $S'=Spec(B)$ dos afín esquemas para algunos anillos de $A$ $B$ que hay un morfismos de esquemas $f:S'\rightarrow S$. Para cualquier $S$ -$X$, se puede considerar el producto de fibra de $X\times_S S'$$X$$S'$$S$.

Si asumimos que el $X$ está dado por un conjunto de ecuaciones $(E)$$A$, ¿cuáles son las ecuaciones que definen el$S'$ -$X\times_S S'$? es que las ecuaciones en $B$ que se obtienen aplicando a $(E)$ de los morfismos de anillos inducida por $f$ ? Yo este puede ser escrito correctamente?

Otra construcción que es aún más simple : suponiendo que $Y$$S'$ -, $Y$ puede ser considerado como una $S$-esquema a través de $Y\longrightarrow S'\longrightarrow S$ (componer por $f$). Tengo dos preguntas acerca de esta construcción : en primer lugar, de la misma manera que lo hice para los productos de fibra, es posible encontrar las ecuaciones que definen $Y$ $S$ variedad de cuyo que la definen como una $S'$ variedad ?

Por último, algo que parece reasonnable para mí: $Z$ $S$- esquema, y consideran el producto de fibra de $T=Z\times_S S'$ $S'$- esquema. Es el esquema de $T$ lo considera como un $S$-esquema con la construcción anterior isomorfo a $Z$ $S$- esquema? Yo creo que el caso sólo porque de la definición del producto de fibra, pero me gustaría estar seguro.

Answer 1

Sólo para añadir a la excelente respuesta de countinghaus, en cuanto a tu primera pregunta, y sus morfismos $f$ se va por el camino equivocado. Quieres un morfismos $f:S^\prime\rightarrow S$ hablar de $X\times_SS^\prime$, no $S\rightarrow S^\prime$. De todos modos, cuando se $X$ es el espectro de una $A$-álgebra $R$, en la elección de los generadores, y suponiendo que esta álgebra es finitely presentado, es isomorfo a $A[x_1,\ldots,x_n]/(f_1,\ldots,f_m)$ algunos $n\geq 0$ y algunos $f_j\in A[x_1,\ldots,x_n]$. El cambio de base es el espectro de $R\otimes_AB$, producto tensor con respecto al anillo de mapa de $\psi:A\rightarrow B$ correspondiente a $S^\prime\rightarrow S$. La canónica $B$-álgebra de mapas

$R\otimes_AB=A[x_1,\ldots,x_n]/(f_1,\ldots,f_m)\otimes_AB \rightarrow B[x_1,\ldots,x_n]/(\psi(f_1),\ldots,\psi(f_m))$

es un isomorfismo, por lo que, de hecho, el cambio de base es "cortar" por los polinomios $f_j$, vistos a través de $\psi$ como tener coeficientes en $B$.