Número de reordenamientos de la palabra "INDIVISIBILIDAD"

Question

¿De cuántas maneras puede la palabra " INDIVISIBILIDAD " se reordene, de manera que que no haya dos I s se acercan entre sí?

Mi intento

Número total de formas de reordenar la palabra = $\dfrac{14!}{6!}$

Número de formas de reordenar la palabra de manera que, como mínimo, un par de I s se acercan entre sí (la motivación de esto viene de la negación de "no hay dos I s se acercan") = $\binom{6}{2} \times \dfrac{13!}{4!}$

Entonces, el número requerido de arreglos = $\dfrac{14!}{6!} - \binom{6}{2} \times \dfrac{13!}{4!}$ .

Pero esto me da un número negativo. ¿En qué me estoy equivocando? ¿Alguien podría decirme cómo solucionar este problema?

Answer 1

Hay $8$ letras distintas, junto con $6$ I's.

El $8$ los no-I se pueden organizar en $8!$ formas. Cada uno de estos arreglos produce $9$ (el $7$ espacios entre letras, y el $2$ "extremos") para que podamos deslizar una sola I. El $6$ los huecos necesarios pueden ser elegidos en $\binom{9}{6}$ formas, para un total de $8!\binom{9}{6}$ .

Observación: El $\binom{6}{2}\frac{13!}{4!}$ cuenta en exceso los casos en los que dos o más Las íes están una al lado de la otra.

Answer 2

En algunos casos se cuenta varias veces. Por ejemplo, estás contando IIIINDVSBILITY ambos poniendo la primera II juntos y arreglando los otros, y poniendo el segundo II juntos y arreglando los otros.

Lo que necesitas es separar todos los casos que es:

• Todos los I s están al lado del otro.
• Sólo 5 I s están al lado del otro.
• Sólo 4 I s están al lado del otro.
• 4 I s están al lado del otro y los otros dos están al lado del otro pero aparte de los primeros 4 I s
• etc.