Pregunta.
¿Bajo qué condiciones counital coalgebras tienen bases que consiste enteramente de grouplike elementos? Al menos en el caso de finito-dimensional coalgebras, o para bialgebras (o álgebras de Hopf en particular), hay una caracterización sencilla?
Definiciones.
Un counital (coassociative) coalgebra es un espacio vectorial $V$ sobre un campo $K$, junto con los operadores de $$\def\id{\mathrm{id}} \Delta : V \V \otimes V \qquad\qquad \varepsilon : V \K $$ tales que las siguientes igualdades:se $$\begin{gather*} (\Delta \otimes \id_V) \Delta \;=\; (\id_V \otimes \Delta) \Delta \;;\\[1ex] (\varepsilon \otimes \id_V) \Delta \;=\; \id_V \;=\; (\id_V \otimes \varepsilon) \Delta \;, \end{reunir*}$$ que son los coassociative propiedad de $\Delta$ (el doble de la habitual asociativa/propiedad distributiva de la multiplicación) y el counital propiedad de $\varepsilon$ (dual a la propiedad de ser una identidad multiplicativa).
Un elemento $\mathbf v \in V$ es grouplike si $\Delta(\mathbf v) = \mathbf v \otimes \mathbf v$, e $\mathbf v \ne \mathbf 0$. Mi pregunta es acerca de las condiciones en las que existe una base para $V$ compuesto de tales elementos.
Ejemplos.
Hay ejemplos simples con y sin una base de grouplike elementos. Por ejemplo, para un campo arbitrario $K$ $V$ un espacio vectorial generado por dos vectores de la base $ \def\r{\mathbf x} \def\i{\mathbf y} \r, \i$, si elegimos $$ \begin{align*} \Delta(\r) &= \r \otimes \r &\quad \varepsilon(\r) &= 1 \\ \Delta(\i) &= \i \otimes \i & \varepsilon (\i) &= 1 \end {align*}$$ a continuación, $\{\r,\i\}$ sí es una base. En particular, tenemos entonces $$\Delta(a\r + b\i) = a(\r\otimes\r) + b(\i\otimes\i) \,,$$ which is a product if and only if either $un=0$ or $b=0$, so that $\{\r,\i\}$ es únicamente una base de grouplike elementos. Por otro lado, un coalgebra no necesita tener ningún grouplike elementos: si por el contrario nos definen $$ \begin{align*} \Delta(\r) &= \r \otimes \r - \i \otimes \i &\quad \varepsilon(\r) &= 1 \\ \Delta(\i) &= \r \otimes \i + \i \otimes \r & \varepsilon (\i) &= 0 \end {align*}$$ entonces $$\Delta(a\r + b\i) = a(\r \otimes \r) + b(\r \otimes \i) + b (\i \otimes \r) - a (\i \otimes \i)\,,$$ which is a product vector if and only if $a^2 = b^2$, that is if $a = b = 0$ or $ = \pm bi$, where $i^2 = -1$. En particular, para campos como la $\mathbb R$ que $x^2+1$ es irreductible, no hay soluciones no triviales.
Hay una caracterización de los cuales coalgebras tienen una base? De nuevo, si no hay una caracterización sencilla, al menos para el finito-dimensional caso, o para bialgebras / álgebras de Hopf. (Por supuesto, en el caso de un bialgebra, al menos, una unidad de $\eta$ es un grouplike elemento.)
