¿Por qué el campo eléctrico es perpendicular a cada punto de la superficie de un conductor?

Question

Estoy leyendo el Curso de Física de Berkeley, Volumen 2 (Electricidad y Magnetismo de Edward M. Purcell). Estoy en el capítulo $3$ , página $92$ y el libro habla de los directores de orquesta.

Lo siguiente es del libro:

Porque la superficie de un conductor [en la Fig. $3.2$ ] es necesariamente una superficie de potencial constante, el campo eléctrico, que es $-\nabla \varphi$ debe ser perpendicular a la superficie en cada punto de la superficie

He omitido la imagen porque no es relevante.

¿Cuál es el razonamiento?

Entiendo que el potencial, $\varphi$ es una función continua, y como $E=0$ dentro del conductor y como $E=-\nabla\varphi$ Lo entiendo. $\varphi=0$ en el interior y en la superficie (desde la continuidad) del conductor.

Sin embargo, no entiendo la razón que da el libro para explicar por qué el campo es perpendicular a cada punto de la superficie.

Answer 1

En términos generales, el gradiente de un campo escalar (como el potencial electrostático) apunta en la dirección del mayor cambio de ese campo. Como no se produce ningún cambio en el campo cuando se recorre la superficie, el gradiente no debería tener una componente en esa dirección.

He aquí otra explicación intuitiva: Imagina por un momento que el campo eléctrico no fuera perpendicular a la superficie. Eso significa que tiene una componente a lo largo de la superficie. Ahora, los campos eléctricos ejercen una fuerza sobre las cargas, por lo que ahora tenemos una fuerza sobre las cargas del conductor a lo largo de la superficie del mismo. Esta fuerza no está equilibrada por nada más, por lo que entonces moverá la carga alrededor. Pero eso significa que nuestro sistema aún no estaba en equilibrio, ya que la carga se estaba moviendo. En equilibrio, las cargas deben estar en reposo, y eso sólo puede ser así cuando no hay fuerza eléctrica a lo largo de la superficie, es decir, cuando es perpendicular a ella.

Nota: Usted dice que $\varphi = 0$ en el interior y en la superficie del conductor. Eso no es cierto. $\varphi$ es constante en el interior y en la superficie del conductor.

Answer 2

Suponiendo que ese campo eléctrico no sea perpendicular a la superficie, entonces debe haber una componente del campo eléctrico que sea paralela a la superficie. Dado que el campo eléctrico se define al ser gradiente del potencial, la superficie del conductor no tendría un potencial constante.

Answer 3

Si no fuera así, su componente tangencial ejercería una fuerza sobre las cargas y éstas se moverían. La condición no sería entonces estática. Después de algún movimiento y redistribución de las cargas (cuando no habría fuerza sobre las cargas) la condición volverá a ser estática haciendo que el campo sea sólo normal a la superficie

Answer 4

Si las líneas de campo eléctrico no fueran perfectamente normales, habría una componente tangencial que aceleraría las cargas en el conductor y reordenaría la distribución de la carga. Para que haya una distribución uniforme, esta componente tangencial debe ser nula.

Answer 5

Las líneas de campo eléctrico van de mayor a menor potencial (por eso para la carga positiva es radialmente hacia afuera y para la carga negativa es radialmente hacia adentro).Potencial V=Er donde E es el campo eléctrico y r es la distancia de la carga.Para E dado, si encontramos el lugar de todos los puntos (es decir, a r constante), obtenemos una superficie que como a un potencial constante. Es decir, si se lleva cualquier carga desde el infinito a cualquier punto de esta superficie, se realiza la misma cantidad de trabajo. Por lo tanto, si usted encuentra este lugar es siempre perpendicular debido al hecho de que las líneas de campo eléctrico en realidad representan el gradiente en el potencial.