Café y polígonos regulares

Question

Para ahorrar algo de dinero, decidí para preparar mi propia mañana-fix café y saltar de comprarlo en la tienda de café. Por CIERTO, yo en coche a trabajar y poner mi taza de café entre los dos asientos delanteros. Mientras conducía por la autopista (especialmente durante la conducción a través de los menos piezas lisas de la carretera), he observado polígonos regulares que se está formando en el café de la superficie: Por ejemplo, aquí es un heptagon que he observado hoy:

Y aquí es un octágono:

También me han hecho observado lo que yo creo $15$, $16$ o $17$-ágonos a pesar de que no tienen una representación gráfica de la prueba para ellos. Me preguntaba acerca de una teoría matemática detrás de estas cosas (recuerdo haber leído en alguna parte que el agua, siempre y cuando se agota, puede tomar estas polígono regular las formas, pero se olvidó de donde). Lo que es sorprendente para mí es que estas formas parecen ocurrir de puro "ruido", es decir, el azar baches de la carretera. Me gustaría ver una explicación, tal como, "Bueno, si se cumplen estas condiciones, se obtiene una ecuación diferencial cuya solución tiene algunas $\frac{1}{1+x^7}$ plazo en ella, y los golpes de las singularidades de la solución de esta ecuación." Yo también estoy interesado en el caso de que la copa no es circular, por ejemplo, un triángulo, voy a probar si puedo encontrar una taza :)

$\textbf{Edit:}$ NO intentar esto. Mi novia (que tomó estas fotografías) es un fotógrafo profesional!

Answer 1

Estos más probable es que corresponden (flojo!) para los modos de vibración de la (más o menos circular) de la superficie hasta la parte superior de la cafetera. Desde el primer par de armónicos son (aproximadamente) planar, lo que se observa visualmente es más probable que se corresponden a los de orden superior (y por tanto mayor energía) armónica modos. Estos pueden ser "separado" en un producto de un término funcional cuyo único parámetro es el radio (generalmente una Función de Bessel de la radio) y otro término armónico en el ángulo; es el sexto y séptimo de la orden de los armónicos que posiblemente esté viendo aquí. Para más detalles sobre los específicos de matemáticas, me gustaría recomendar la página de Wikipedia sobre las Vibraciones de una membrana circular; para algunos excelentes ilustraciones de menor orden de los modos en movimiento, echa un vistazo Daniel Russell animaciones de modos de vibración.

Answer 2

El sistema es similar a las ondas en un tambor, pero el límite no es fijo.

Es el coche de la suspensión no se amortigua de manera correcta?

El café de las ondas en un cuerpo cilíndrico de la copa de radio de una se aproximan por $\displaystyle{c^2\nabla^2 h=\frac{\partial^2 h}{\partial t^2}}$ $\displaystyle{\frac{\partial h}{\partial t}}=0$ $r=a$ donde $h$ es el desplazamiento vertical.

En coordenadas polares, $\displaystyle {c^2 \left(\frac{\partial^2h}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial h}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2h}{\partial \theta^2}\right) =\frac{\partial^2 h}{\partial t^2}}$.

Deje $h$ ser una combinación lineal de términos de la forma $R(r)\Theta(\theta) T(t)$. Siguiendo los métodos en el enlace en la respuesta anterior,$\Theta=C\cos m\theta + D\sin m\theta)$ $m \in \mathbb{Z}$ y los otros términos que no vale la pena molestarse con. Si el valor de R(r) es mayor con $m=n$, términos con los $m=kn$ va a interferir constructivamente con los correspondientes a los picos de hacer más estrecho, el más alto de los picos de marcar los vértices de un n-ágono, y las condiciones con otros valores de $m$ será más probable que interfieren destructivamente.