¿Hay una relación general entre el peso conformal de un campo y su dimensión escala (clásica)?

Question

Un campo de $\phi(z)$ tiene la conformación de peso $h$, si se transforma en $z\rightarrow z_1(z)$

$$ \phi(z) = \tilde{\phi}(z_1)\left(\frac{dz_1}{dz}\right)^h $$

El (clásico) escala de dimensión puede ser obtenido por cada campo que aparece en el Lagrangiano, haciendo uso de la restricción que tiene que ser adimensional, dando como resultado, por ejemplo en

$$ [\phi] = [A^{\mu}] = 1 $$

por un escalar y un medidor de campo o

$$ [\Psi_D] = [\Psi_M] = [\chi] = [\eta] = \frac{3}{2} $$

por Dirac, Majorana, y Weyl spinors.

Son estos dos conceptos de la ampliación de la dimensión y conformación de peso de alguna manera relacionados?

Answer 1

De "teoría de campo cuántica Perturbative" Edward Witten (446 en el volumen 1 de la página "campos cuánticos y cadenas: un curso para los matemáticos"):

Answer 2

Son la misma cosa; si tengo un CFT, entonces la dimensión de un campo de $[\phi]$ es igual a la conformación de la dimensión. Esto es debido a que $[\phi]$ se define como el comportamiento de $\phi$ bajo rígido cambios de escala, que es un caso especial de una de conformación de transformación.

Nota, sin embargo, que uno también puede definir una dimensión $[\phi]$ de teorías que no son invariantes conformes por la promoción de los acoplamientos a fondo de los campos. Por ejemplo, una de las necesidades a escala de toda la masa de los parámetros de $m\mapsto \lambda^{-1}m$ bajo $x\mapsto \lambda x$. En general, cualquier regulador que se puede pensar de esta simetría se rompe, y esto conduce a la RG flujos.