Supongamos que llego en un ascensor por las mañanas y estoy en ella durante exactamente un minuto. Un lazo continuo de la música desempeña en el ascensor y está a 10 minutos de largo.
Si mi hora de llegada diaria es uniforme en el marco de tiempo de 8:00 a 8:10, ¿cuál es el número esperado de días hasta que he escuchado a los 10 minutos todos del bucle? Asumen tomar las escaleras abajo al final del día y estoy tan solo en el ascensor durante un minuto por día.
Esta pregunta me recuerda a Wilfrid Kendall hojas muertas la simulación, que se utiliza para explicar la diferencia entre hacia adelante y hacia atrás de muestreo.
Dado que el problema puede ser formalizado a través de uniforme separaciones, esta muy detallado de la respuesta en la CV está conectado con esta pregunta.
De hecho, si $U_1,\ldots,U_T$ denotar mediados de los tiempos del ascensor viajes en los días 1, 2, ..., T, que se supone Uniforme en $(0,L)$, y si $U_{(1)},U_{(2)},\ldots,U_{(T)}$ son de la correspondiente orden de estadísticas, la condición para cubrir la totalidad de L mn programa musical es $$U_{(2)}-U_{(1)}<1,U_{(3)}-U_{(2)}<1,\ldots,U_{(T)}-U_{(T-1)}<1,$$ y $$U_{(1)}+L-U_{(T)}<1$$ Definir el vector de Dirichlet $\Delta$ asociado con las distancias $U_{(i)}-U_{(i-1)}$ $(2\le i\le T+1)$, con $U_{(T+1)}=L$, $$\Delta=\frac{1}{L}(U_{(1)},U_{(2)}-U_{(1)}, U_{(3)}-U_{(2)},\ldots,U_{(T)}-U_{(T-1)},1-U_{(T)})$$ que es de Dirichlet $\mathcal{D}_{T+1}(1,\ldots,1)$, la pregunta es, por tanto, casi equivalente a encontrar la ley de la máxima componente de $\Delta$, para determinar el$$\mathbb{P}\left(\max_{1\le i\le T+1}\Delta_i<1\big/L\right)$$para que la aproximación proporcionada en el mencionado respuesta se aplica. Obviamente, esta no es la única respuesta a la pregunta, pero es que ofrece una interesante entrada.
La expectativa de $T$ puede entonces deducirse de $$\mathbb{P}(\max_i\Delta_i\le 1/L) = \sum_{j=0}^{L} { T+1 \choose j } (-1)^j (1-j/L)^T,$$ desde \begin{align*} \mathbb{E}[T]&=\sum_{t=L+1}^\infty t \mathbb{P}(T=t)\\ &=\sum_{t=L+1}^\infty t \mathbb{P}(T\ge t)-\sum_{t=1}^\infty t \mathbb{P}(T\ge t+1)\\ &=(L+1)\mathbb{P}(T\ge L+1)+\sum_{t=L+2}^\infty \mathbb{P}(T\ge t)\\ &=(L+1)\{1-\mathbb{P}(T\le L)\}+\sum_{t=L+2}^\infty \{1-\mathbb{P}(T\le t-1)\}\\ &=L+1+\sum_{t=L+1}^\infty \{1-\mathbb{P}(T\le t)\}\\ &=L+1+\sum_{t=L+1}^\infty \left\{1-\mathbb{P}\left(\max_{1\le i\le T+1}\Delta_i\le1\big/L\right)\right\}\\ &=L+1+\sum_{t=L+1}^\infty \left\{1-\sum_{j=0}^{L} { t+1 \choose j } (-1)^j (1-j/L)^T\right\}\\ \end{align*} Una rápida simulación muestra la precisión de la expectativa de
La aproximación al problema real de "el continuo cupón de coleccionista" también puede ser evaluada por la simulación y la regresión de la simulación de la cantidad esperada $\hat T$ (aproximado) número esperado $\hat T_0$ muestra un buen ajuste de la fórmula $$\hat T=3/2+\hat T_0$$
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