La norma de $x\in X$, donde $X$ es un espacio lineal normado

Question

Pregunta:

Vamos $x\in X$, $X$ es una normativa espacio lineal y deje $X^{*}$ denotar el espacio dual de $X$. Demostrar que$$\|x\|=\sup_{\|f\|=1}|f(x)|$$ where $f\X^{*}$.

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Mi prueba:

Deje $0\ne x\in X$, el uso de HBT tome $f\in X^{*}$ tal que $\|f\|=1$$f(x)=\|x\|$.

Ahora, $\|x\|=f(x)\le|f(x)|\le\sup_{\|x\|=1}|f(x)|=\sup_{\|f\|=1}|f(x)|$, esto implica $$\|x\|\le\sup_{\|f\|=1}|f(x)|\quad (1)$$

Desde $f$ es un delimitada lineal funcional $|f(x)|\le\|f\|\|x\|$ todos los $x\in X$. Desde$\|f\|=1$, $|f(x)|\le\|x\|$ para todos los $x\in X$. Esto implica $$\|x\|\ge\sup_{\|f\|=1}|f(x)|\quad(2)$$

Por lo tanto, $(1)$ $(2)$ da $\|x\|=\sup_{\|f\|=1}|f(x)|$.

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Si $x=0$, el resultado parece ser trivial, pero todavía estoy tratando de convencerme a mi mismo. Todavía tengo dudas acerca de mi prueba, ¿es correcto? Por favor, ayudar.

Editar:

Por favor, tenga en cuenta que, yo uso el resultado de la una de las consecuencias de Hahn-Banach teorema. Es decir, dada una normativa espacio lineal $X$ y $x_{0}\in X$ $x_{0}\ne 0$, existen $f\in X^{*}$ tal que $f(x_{0})=\|f\|\|x_{0}\|$

Answer 1

Para poner la discusión en los comentarios a un fin:

Sí, la prueba es correcta (el menor de los detalles que faltaban o ligeramente confuso—eran esencialmente corregido).

Hay dos ingredientes para la prueba:

1. Por la definición del operador de la norma tenemos $\sup_{f \in X^\ast, \|f\|\leq 1}|f(x)| \leq \|x\|$.

2. Deje $U = \langle x \rangle$ ser el subespacio generado por $x$. Definir un funcional lineal $\tilde{g}$ $U$ mediante el establecimiento $\tilde g(tx) = t$ para cada uno de los escalares $t$. Este funcional satisface $\|\tilde{g}\| = 1$ a menos de que estemos en el caso de $x = 0$ que $\tilde{g} = 0$. Por Hahn-Banach podemos extender ese funcional a un funcional lineal $g$ sobre todo $X$ tal que $\|\tilde{g}\| = \|g\|$. Por lo tanto, $\sup_{f \in X^\ast, \|f\|\leq 1}|f(x)| \geq |g(x)| = \|x\|$.

Armando 1. y 2. juntos hemos $\|x\|\leq \sup_{f \in X^\ast, \|f\|\leq 1}|f(x)| \leq \|x\|$, de modo que debe haber igualdad.

Tenga en cuenta que este argumento muestra, en particular, que la inclusión canónica $i: X \to X^{\ast\ast}$ $x \mapsto i_x$ donde $i_x(f) = f(x)$ es un isométrico de la incrustación.

Answer 2

Gracias por los comentarios. Vamos a ver....

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Deje $0\ne x\in X$, utilizando la consecuencia de HBT (analítica de la forma) tome $g\in X^{*}$ tal que $\|g\|=1$ e $ g(x)=\|x\|$.

Ahora, $\|x\|=g(x)\le|g(x)|\le\sup_{\|f\|=1}|f(x)|$, esto implica $$\|x\|\le\sup_{\|f\|=1}|f(x)|\quad (1)$$

Desde $f$ es un delimitada lineal funcional (): $|f(x)|\le\|f\|\|x\|$ todos los $x\in X$.

Para un funcional lineal $f$ $\|f\|=1$ tenemos por definición, $|f(x)|\le\|x\|$ todos los $x\in X$. Esto implica $$\|x\|\ge\sup_{\|f\|=1}|f(x)|\quad(2)$$

Por lo tanto, $(1)$ $(2)$ da $\|x\|=\sup_{\|f\|=1}|f(x)|$.

Si $x=0$, el resultado es trivial.

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Más comentarios?