número de divisores de $2^23^35^57^411^3$ que es en forma de $6k+1, k\geq 0$ y $k\in \mathbb{Z}$

Question

<blockquote> <p>Número total de divisores de $2^23^35^57^411^3$ que es en forma de $6k+1, k\geq 0$ y $k\in \mathbb{Z}$</p> </blockquote> <p>escritura de $\bf{Attempt}$ $1,3,3^2,3^3$ $6k+1$ o $6k+3$</p> <p>misma manera $1,5,5^2,5^3,5^4,5^5$ $6k+1$ o $6k+4$</p> <p>misma manera $1,7,7^2,7^3,7^4$ $6k+1$</p> <p>misma manera $1,11,11^2,11^3$ $6k+1$ o $6k+5$</p> <p>alguno me podria ayudar como puedo yo solucionar mi pregunta, gracias</p>

Answer 1

Así, podemos obtener $1 = 6k+1$ $k=0$ a la primera, así que es bueno. También podemos ignorar el $2$s y $3$s (podemos hacerlo con el argumento de que no divisor de $2^{2}3^{3}5^{5}7^{4}11^{3}$ $2$ o $3$ como un factor que será congruente a $1$ mod $6$). Fix $a \in \mathbb{N}$. Desde $7 = 6k+1$$k=1$, claramente tenemos $7^{a} \equiv 1 \pmod{6}$ cualquier $a$. Por extraño $a$, podemos ver que $$5^{a} \equiv 5 \pmod{6} \hspace{0.4cm} \text{and} \hspace{0.4cm} 11^{a} \equiv 5 \pmod{6}.$$ Incluso para $a$, también podemos mostrar que $$5^{a} \equiv 1 \pmod{6} \hspace{0.4cm} \text{and} \hspace{0.4cm} 11^{a} \equiv 1 \pmod{6}.$$ Ahora debemos hacer uso de lo que sabemos acerca de la multiplicación modular y el hecho de que $5^{2} \equiv 1 \pmod{6}$. Esto se reduce a la pregunta: ¿cuántas combinaciones de $5^{i}7^{j}11^{k}$ ($i,j,k \in \mathbb{N} \cup \lbrace 0 \rbrace$ y $i \leq 5$, $j \leq 4$, $k \leq 3$) se puede hacer de tal manera que ambos $i$ $k$ son pares o impares?

Answer 2

Olvídate de los 2s y 3s y a tener en cuenta factores de $5^57^411^3$. ¿Son cuántos de ellos hay? Son todos de la forma $6k\pm 1$. Uno diría que aproximadamente la mitad de ellos son $6k+1$.

Cada uno es $a11^j$ donde $a\mid 5^57^4$ y $j\in{0,1,2,3}$. Si $a\equiv1\pmod 6$ y $a11^j\equiv1\pmod 6$ $j\in{0,2}$ y $a11^j\equiv5\pmod 6$ $j\in{1,3}$. Para cada uno de estos $a$, la mitad el % admisible $a11^j$es $6k+1$. ¿Y si $a\equiv5\pmod 6$?