Modelos de ZF con un conjunto de calcetines de Russell

Question

Definir un Russell calcetines conjunto como una contables conjunto de (pares discontinuo) pares de tal manera que ningún subconjunto infinito tiene una función de elección. Por supuesto, si ZFC es consistente, entonces esto demuestra que no hay tal juego existe (como el axioma de elección es, precisamente, la afirmación de que cada conjunto tiene una función de elección). Por otro lado, es conocido por ser coherente con ZF que tal conjunto existe.

Muchas maravilloso y entretenido consecuencias de un conjunto existente en un modelo de ZF se puede encontrar en documentos tales como"En el número de Russell calcetines [...]"por Herrlich y Tachtsis o en Ethan Thomas' tesis de licenciatura sobre el tema.

Ninguno de estos documentos de forma explícita la construcción de un modelo de ZF que contiene un Russell calcetines conjunto. Son los modelos más comunes, tales como la de Cohen sabe que contienen un conjunto? Es fácil construir un modelo que contiene uno?

Cualquier referencia sería muy apreciada!

Answer 1

Sí. Cohen segundo modelo de $\lnot\sf AC$ es un modelo en el que hay un conjunto de Russell.

La prueba se puede encontrar en Jech, "El Axioma de Elección" en el Capítulo 5, sección 4. Mientras Jech no incluye la declaración de que el conjunto resultante es un conjunto de Russell, está implícito en la prueba del Lema 5.19.

Además, Fraenkel segundo modelo de $\sf ZFA$ tiene un conjunto de Russell, y en el mismo libro de Jech, que proporciona "la transferencia de teoremas" para la transferencia de algunos de los resultados de los modelos con los átomos a los modelos de $\sf ZF$ (sin átomos). Estos incluyen la existencia de un conjunto de Russell así. Transferencia de otros teoremas (Pincus, Hall) son igualmente adecuados para el trabajo también.