Límites en una suma que involucra la función de Möbius

Question

En teoría analítica del número de Apostol, Apostol define $$A(x):= \sum_{n \leq x} \frac{\mu(n)}{n}$ $ y resulta que $A(x)=o(1)$ implica el teorema primero del número, demostrando $$\frac{M(x)}{x}=A(x)-\frac{1}{x}\int1^x A(t)dt,$ $ en que $M(x):=\sum{n \leq x} \mu(n)$ es la función summatory para la función de Möbius (Teorema 4.16). ¿Cuáles son algunos límites de error conocido de la función $A(x)$? ¿En particular, tenemos $A(x)= o(1/\log x)$ $x \to \infty$?

Answer 1

Voy a responder a mi propia pregunta:

El Abel de Suma fórmula da

$$A(x)=\frac{M(x)}{x}+ \int_1^x \frac{M(u)}{u^2} du = \frac{M(x)}{x}+\int_1^\infty \frac{M(u)}{u^2} du-\int_x^\infty \frac{M(u)}{u^2} du.$$ Como $A(x)=o(1)$, el lado derecho de la anterior debe tienden a $0$. Tenemos $M(x)/x \to 0$, y la estimación $$\left\vert \int_x^\infty \frac{M(u)}{u^2} du \right\vert \leq \int_x^\infty \frac{\vert M(u)\vert}{x^2} du =\frac{1}{x^2}O(xM(x))=O(M(x)/x)$$ implica que el extremo derecho de la integral de nuestra primera línea tiende a $0$. Así $$\int_1^\infty \frac{M(u)}{u^2} du=0,$$ y $A(x)=O(M(x)/x)$. En particular, podemos responder a nuestra pregunta por la simple delimitación del crecimiento de Mertens función de $M(x)$. Tenemos $$M(x)=O\left(xe^{-c\sqrt{\log x}}\right)$$ por alguna constante positiva $c$. (Creo que esto se desprende de la clásica límites en el PNT, pero soy incapaz de encontrar una referencia adecuada. Edit: he encontrado una mención de que el proceso aquí.) A continuación,$A(x) =O(e^{-c \sqrt{\log x}})$, y desde $$\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^n}{e^{c \sqrt{\log x}}}=0$$ para todos los $n$, nos encontramos con $A(x)=o((\log x)^{-n})$ todos los $n >0$.

Answer 2

La desigualdad (y las igualdades consiguientes) de su segunda línea desafortunadamente no tiene sentido. Sin embargo, usando el límite que das en$M(x)$ en la integral, se obtiene fácilmente$$\left\vert \int_x^\infty \frac{M(u)}{u^2} du \right\vert =O\left(\sqrt{\log x}e^{-c \sqrt{\log x}}\right),$ $, que finalmente no cambia tu conclusión.

Aclamaciones