Una prueba sobre la división de polinomio

Question

Supongamos que $g(x)=ax+b$,$a,b\in K$,$K$ es un campo, y $f(x)\in K[x]$, probar:
$$g(x)|f^2(x)\Leftrightarrow g(x)|f(x)$$

El $\Leftarrow$ parte es tan trivial. Pero para el $\Rightarrow$ parte me quedo atascado.
Siento que puedo necesitar para discutir en casos separados, y para
caso 1: en caso de $a=b=0$;
caso 2: donde $a=0,b\ne0$.
La prueba es trivial, pero no sé cómo llegar a abordar la
caso 3: donde:$a\ne0$.
Sé $g(x)|f^2(x)$ $\exists ! q(x)\in K[x]$ s.t. $f^2(x)=q(x)(ax+b)$, que los rendimientos de $2\deg f(x)=1+\deg q(x)$, lo $q(x)$ es un número impar y $\ge1$.
Y para mostrar $g(x)|f(x)$ medios que muestren $\exists !p(x)\in K[x]$ s.t. $f(x)=p(x)(ax+b)$.
Pero no sé cómo proceder, ya que no veo ninguna conexión entre los dos.
Realmente necesita un poco de ayuda aquí. Yo te agradezco cualquier ayuda o sugerencia. Saludos!

Answer 1

Cómo se soluciona el problema depende de la maquinaria ya está disponible.

Por ejemplo, en el caso $a\ne 0$ podemos discutir como sigue. Tenemos $ar+b=0$ cuando $r=-(ba^{-1})$. Así $f^2(r)=0$ y por lo tanto % dividen a $f(r)=0$y por lo tanto $ax+b$ $f(x)$ por el teorema del resto.

Una forma más elegante es que $ax+b$ es irreducible. Nuestro anillo polinómico es un dominio euclidiano, por lo que si $ax+b$ divide el producto $f(x)f(x)$, debe dividir uno de los términos.

Answer 2

Wealll, $K[x]$ es un dominio ideal principal, como es ampliamente conocido; en el PID, realizar y primos coinciden; es irreducible en $ax + b$ $K[x]$, por lo tanto cebar; por lo tanto implica la $ax + b \mid (f(x))^2$ $ax + b$ divide al menos uno de los factores de $(f(x))^2 = f(x)f(x)$, donde $g(x) = ax + b \mid f(x)$. QED.